一、Bode图的定义与优点
1.1 基本概念
对数幅频（Lm）：频率特性 幅值的对数，以分贝（dB）表示
Bode图由两部分组成：
- 对数幅频曲线：纵坐标按 线性分度，单位为分贝（dB）
- 对数相频曲线：纵坐标按 线性分度，单位为度（°）
- 横坐标：按 分度，单位为弧度/秒（rad/s）
横坐标标注的是，但是实际线段的长度是按照来的。也就是每十倍频程所代表的线段长度一样
1.2 频率单位
倍频（Octave）：频带 到 ，其中
- 例如：1~2Hz 是1个倍频宽度，17.4~34.8Hz 也是1个倍频宽度
十倍频（Decade）：频带 到 ，其中
- 例如：1~10Hz 或 2.5~25Hz 都是1个十倍频宽度
横坐标用对数分度可以拓展低频段信息（低频段更宽了）
1.3 Bode图的优点
对数坐标图的三大优点：
- 将乘积和除法转化为加法和减法：简化计算
- 用渐近线表示幅频特性，作图方便：先绘制直线近似，再修正提高精度
- 半对数坐标扩展了低频段：便于观察低频特性
二、典型环节的Bode图及奈奎斯特图
一般传递函数可分解为以下典型环节：
Note that：对于二阶环节，如果（过阻尼，纯实根），那么可以分解成几个一阶环节
2.1 比例环节（K）
2.2 积分/微分环节（）
2.3 惯性环节（，）（一阶滞后环节）
对数幅频：
渐近特性曲线：
- 当 ： → 渐近线在低频段为 0 dB线
- 当 ： → 渐近线在高频段是斜率为 -20dB/dec 的斜线
转折频率（Corner Frequency，定义为两端渐近线的交点处的频率）：
相频特性：
- 时，相角为 0°
- 时，相角为 -45°
- 时，相角为 -90°
精确曲线与渐近线的偏差：
- 转折频率处：最大误差 ±3dB
- 距转折频率1个倍频（octave）处：±1dB
- 距转折频率2个倍频处：±0.26dB
惯性环节（）：
- 幅频特性相同（因为幅频特性的表达式是关于 的）
- 相频特性与 反号（关于0度线对称）
惯性环节的奈奎斯特图
- 粉色的为，相位滞后；
- 蓝色的为 ，相位超前；
- 很容易看出，蓝色和粉色的部分幅频特性是完全相同的
2.4 一阶微分环节（，）
2.5 幅频特性误差分析（惯性/一阶微分环节）
在转折频率处的误差最大。幅频特性的最大误差为
2.6 振荡环节（，）
其中 （无阻尼自然频率）
幅频特性（关注谐振问题）：
相频特性：
- 时，相角为 0°
- 时，相角为 -90°
- 时，相角为 -180°
振荡环节（）：
- 幅频特性同
- 相频特性与 反号（关于0度线对称）
- 注意：该环节不稳定，讨论谐振频率和谐振峰值没有意义
振荡环节()
传递函数：
这是阻尼比为0的特殊振荡环节
幅频特性：
特殊性质：
在转折频率 处：
幅频特性趋于 +∞（理论上在该频率处系统产生无穷大的输出）
相频特性：
特点：
- 相频特性在转折频率处有跃变
注意：
这种情况对应无阻尼振荡，系统在 处会产生持续振荡。在实际系统中，阻尼比不会恰好为0，但当阻尼比很小时，系统表现接近此特性。
振荡环节的奈奎斯特图
：
：
2.7 二阶微分环节（，）
特点：
- 幅频特性与振荡环节反号（关于0dB线对称）
- 相频特性与振荡环节反号（关于0度线对称）
- 转折频率：∑
- 低频段：0 dB线
- 高频段：斜率为 +40dB/dec
当 时：
- 幅频特性从1单调减至 （在 ）
- 从 单调增加（在 ）
二阶微分环节（，）
- 幅频特性同 二阶微分环节
- 相频特性与二阶微分环节反相
二阶微分环节（）
奈奎斯特图
-
三、系统Bode图的绘制（题型 1：正向画图）
非最小相位系统
最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的！某点处幅频特性衰减的速度就大致决定了其相频特性的相位。
幅频斜率 (dB/dec) | 衰减速度 () | 对应的近似相位 | 工程含义 |
低频平坦段，无相移 | |||
单个极点起主导作用 | |||
两个极点或二阶振荡环节 | |||
单个零点起主导作用（相位超前） |
3.1 对数幅频曲线渐近线绘制步骤
开环对数频率渐近特性曲线的绘制步骤：
- 典型环节分解：将开环传递函数分解为典型环节
- 确定转折频率：找出一阶、二阶环节的转折频率，标注在 轴上
- 绘制低频段渐近线：
- 斜率由 决定，为 dB/dec
- 确定直线上一点（常用方法）：
- 方法一：在 范围内任选 ，计算
- 方法二：取 ，则
- 方法三：取 ，则
注意这里绘制的是渐进线，找的点也是渐近线上的点而不是真实的幅频曲线上的点！
- 绘制 频段渐近线：
- 每两个相邻转折频率间为直线
- 在每个转折频率点处，斜率发生变化
斜率变化规律：
典型环节 | 典型环节传递函数 | 转折频率 | 斜率变化 |
一阶惯性环节
() | dB/dec | ||
一阶微分环节() | dB/dec | ||
二阶振荡环节
() | dB/dec | ||
二阶微分环节
()
() | dB/dec |
3.2 示例
例6-7：给定开环传递函数
典型环节：, , , ,
转折频率： (其中 )
3.3 对数相频曲线绘制步骤*（很麻烦，一般不会手绘）
核心思想：
绘制 的相频曲线可以采用以下方法来简化：
- 分解：将传递函数分解为若干典型环节
- 逐个绘制：对每个典型环节绘制其相频曲线，绘制时需要取一些点来辅助绘图
- 叠加：通过叠加这些典型环节的相频曲线，得到 的相频曲线
四、系统型别、增益与对数幅频曲线的关系
4.0 数学推导
第一步：建立通用数学模型（典型环节复习）
在控制理论中，任何复杂的线性定常系统开环传递函数 ，都可以分解为以下几种典型环节的乘积：
我们需要关注其中的三个部分：
- (开环增益)： 决定了整体幅值的高度。
- (积分/微分环节)： 这是核心！
- 若 ，表示有 个积分环节（位于分母）。
- 若 ，表示有 个微分环节（位于分子）。
- 若 ，表示是0型系统（无积分/微分）。
- 等动态环节： 这些是一阶惯性环节或二阶振荡环节。
第二步：低频段发生了什么？（数学推导）
所谓"起始段"或"低频段"，在物理上指的是频率 非常小的时候（）。
具体来说，当频率 远小于所有转折频率（即 和 ）时：
- 所有的 项都近似等于 1。
此时，复杂的传递函数退化为一个极其简单的形式：
这就是低频段的渐近线方程。
第三步：绘制 Bode 图（幅频特性）
我们对上面的简化公式取对数，得到幅值 （单位：dB）：
利用对数性质展开：
请仔细观察这个方程 的形式：
- 自变量：（对数频率轴）。
- 斜率：。
- 截距/整体高度：由 决定。
结论来了：
在这个方程中，唯一的变量是频率 ，而决定直线斜率的唯一参数就是 （积分或微分环节的个数）。
4.1 稳态误差系数与系统型别
系统型别 | 位置误差 | 速度误差 | 加速度误差 | |||
0 | 0 | 0 | ||||
Ⅰ | 0 | 0 | ||||
Ⅱ | 0 | 0 | ||||
Ⅲ | 0 | 0 | 0 |
起始段的增益取决于积分/微分环节，也就是系统的型别；
- 系统的型别越高，起始段就越陡峭；
- 系统的增益越大，起始段就越高
4.2 从Lm曲线识别系统型别和增益
0型系统（）
特点：
- 无积分环节
- 低频段：水平线
- 低频水平线的幅值为（决定了整体幅值高度）
Ⅰ型系统（）
特点：
- 1个积分环节
- 低频段：斜率 -20dB/dec 的斜线
- 根据特征点和第一个转折频率的位置分类，可能有如下情况：
- 低频斜线与 0dB线交点：
- 低频斜线在 处的读数为
Ⅱ型系统（）
特点：
- 2个积分环节
- 低频段：斜率 -40dB/dec 的斜线
- 低频斜线与 0dB线交点：
- 低频斜线在 处的读数为
五、传递函数的实验确定方法（题型 2：反向求传递函数）
5.1 实验步骤
基于Bode图确定传递函数的步骤：
- 采集数据：输入各种频率的稳态正弦信号，测量输入输出信号的幅值比和相位差
- 绘制精确曲线：用数据绘制精确的对数幅频曲线 Lm 和相频曲线
- 绘制渐近线：在精确 Lm 曲线基础上，绘制渐近特性曲线（斜率近似为 dB/decade 的倍数）
- 确定传递函数：根据渐近线确定系统型别和近似时间常数
5.2 注意事项
⚠️ 最小相位 vs 非最小相位：
- 许多实际系统的开环传递函数都是最小相位的，这时无需使用相频曲线
- 因为对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是一一对应的
- 若传递函数存在零点在右半平面，需通过相频曲线分析确定
5.3 确定方法
直线方程：
推导可得：
其中 为斜率（单位：dB）
例6-11：
例6-12：
六、最小相位系统与非最小相位系统
6.1 定义
最小相位系统：
- 在右半S平面上既无极点也无零点
- 无纯滞后环节
非最小相位系统：
- 在右半S平面上具有极点或零点，或
- 有纯滞后环节
6.2 典型环节对比
典型环节类别 | 最小相位 | 非最小相位 |
比例环节() | ||
一阶环节() | ||
二阶环节() |
6.3 重要性质
最小相位系统的特点：
- 在具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围最小
- 最小相位系统的幅频特性和相频特性存在严格确定的关系，由对数幅频特性即可唯一确定其相频特性
- 对于最小相位系统，如果其对数幅频特性在某个频率附近相当宽的频率段内斜率约为 dB/dec（ 为整数），则对应的相角约为
可以看到，两个系统的幅频特性曲线是完全一模一样 的
但是非最小相位系统的相频特性变化明显比最小相位系统剧烈得多
