这是一个非常好的数学推导问题。课件第 26 页实际上给出了最终结论，但在中间的求导过程上做了一些省略。
为了求出二阶振荡环节的谐振频率（，Resonant Frequency）和谐振峰值（，Resonant Peak），我们需要对幅频特性函数进行极值分析。
为了让你看得更清楚，我将使用"分母最小化"的策略，这样可以避免对复杂的根号分数直接求导，大大简化计算过程。
以下是详细的推导步骤：
第一步：写出幅频特性函数的模
根据课件第 26 页，二阶振荡环节的频率特性 为：
它的幅值（模） 为：
第二步：简化优化目标
我们的目标是求 的最大值。
因为 是形如 的函数，要使分数最大，只需让分母根号下的部分最小。
令根号下的函数为 ，我们只对它求导即可：
为了书写方便，令 （归一化频率），则目标变为求 的最小值：
第三步：对辅助函数求导并令其为 0
对 求导：
整理方程：
提取公因式 ：
令导数为 0（寻找驻点）：
第四步：分析解与谐振频率
这个方程有两个可能的解来源：
- 解 1：
- 这意味着 。这是幅频曲线的起点（直流增益），通常不是峰值（除非没有谐振），对于欠阻尼系统，这里是极小值或边界值。
- 解 2：
- 即
- 解得
因为 ，代回 得到谐振频率公式：
关键讨论：实数解存在的条件
根号下的数必须大于 0，即 。
这意味着只有当 时，才存在非零的谐振频率 。
- 如果 ，幅频特性是单调下降的，没有凸起的峰值（或者说最大值就在 处）。
第五步：求谐振峰值
现在我们把求出的 代回到原本的幅值公式中，求最大值 。
回顾简化后的幅值公式（用 表示）：
将 代入：
- 第一项 ：
- 第二项 ：
- 合并分母根号内：
- 开根号取倒数：
这就是课件第 27 页给出的谐振峰值公式。
总结
推导的核心逻辑链是：
- 写出 。
- 发现求 的最大值等价于求分母内部 的最小值。
- 对 求导并令其为 0，解出 。
- 将 代回原式，化简得到 。
这个过程解释了为什么只有在欠阻尼且阻尼比较小（）时，二阶系统才会出现"共振"现象（即幅频曲线上凸起一个包）。
