一、极坐标图的绘制方法

绘制 的极坐标图有三种方法：

方法一：直接计算法

将 变为 ，在 内取足够多个 ，计算每个 对应的复数 ，在复平面上标出相应的点，依 增大方向将所有的点用光滑曲线连接。

方法二：从 Bode 图获取数据

从对数幅频曲线和相频曲线中，获取足够多的幅值 和相角 ，利用幅值和相角在复平面上标出相应的点，依 增大方向光滑连接所有的点。

方法三：从零极点图获取数据

对于传递函数，我们可以得到其所有的零极点：

幅值为：

相角为：

二、RC 复合网络示例*

电路分析

对于滞后-超前补偿器（RC 复合网络）：

传递函数为：

其中：，，

频率特性为：

幅相曲线特征

令 ，，可得：

⭐

幅相曲线在一个圆上，圆心为 ，半径为

关键特性

3. 当 时，相角为零，其中

📌

• 当频率小于 时，传递函数相角为负（滞后）

• 当频率大于 时，传递函数相角为正（超前）

• 因此称为滞后-超前补偿器

四、不同型别系统的极坐标图

4.1 0 型系统

传递函数示例：

特征：

频率	幅值	相角

每一个典型环节，当 从 0到正无穷变化时，相角都是从 0° 变到-90°。

所以对于整个系统而言，是从 0° 变到-180°

 

附加极点

如果分子中还有一个惯性环节，则最终的相角是，奈奎斯特图形如：

附加零点的影响

当分子中出现一阶微分环节 时，频率从 0 变化到 ，该环节贡献的相角从 增加到 （逆时针旋转）。

⭐

随着频率的增加， 的相角可能不再单调变化！

示例：多零点系统

考虑传递函数：

当 和 大于 ，且 大于 时，极坐标图有"dent"（凹痕，齿）：

零点时间常数较小时

当 小于其他时间常数时，极坐标图与下列系统的比较相似：

 

时间常数影响的本质

🎯

核心理解：离虚轴近的零极点影响更大

时间常数 对应的零极点位置为 ：

• 越大 → 越小 → 零极点离虚轴越近 → 对频率响应影响越大

• 越小 → 越大 → 零极点离虚轴越远 → 对频率响应影响越小

物理解释：

• 从零极点图看，当 从 0 增大时， 沿虚轴上移

• 离虚轴近的零极点，其对应向量的角度变化更快（因为距离近）

• 离虚轴远的零极点，向量角度变化缓慢（因为距离远，角度变化被"稀释"）

因此，时间常数大的零点/极点对相角的影响更显著，这就是为什么当零点的 大于极点的时间常数时，会出现相角先增后减的现象（产生 dent）。

4.2 I 型系统

传递函数形式：

特征：

频率	幅值	相角

⭐

I 型系统极坐标图特点：

• 分母上的 对所有频率都产生 的相角

• 由于 环节均出现在分母，极坐标图没有凹点

• 当 由 0 到 变化时， 的相角由 到 单调减小

低频渐近线

当 趋近于 0 时， 接近于无穷大。在原点的左侧存在一条平行于 轴线的渐近线。接下来，我们给出渐近线通用表达式：

假设开环传递函数在分子上增加了 个零点，形式如下：

其中：

• 是分子的零点时间常数。

• 是分母的极点时间常数（如 ）。

在这种情况下，低频段等效的"总惯性时间常数"（或你公式中的系数部分）遵循"极点相加，零点相减"的原则。

新的渐近线相关表达式（或等效时间常数项）将变为：

穿越频率（穿越相位）

负实轴穿越点的频率 ，该点处 的虚部为零：

对于本系统：

解得：

⚠️

穿越频率 处与负实轴的交点决定了闭环稳定性！

示例

计算得：

4.3 II 型系统

传递函数形式：

特征：

频率	幅值	相角

⭐

II 型系统极坐标图特点：

• 分母上的 对所有频率都产生 的相角

• 极坐标图从 方向的无穷远处开始

• 相角由 连续减小到

• 没有渐近线！，实部是一阶无穷大，虚部是二阶无穷大

附加零点的影响

当 II 型系统分子中出现一阶微分环节（附加零点）时，极坐标图的形状会发生显著变化。

考虑传递函数：

其中 （零点的时间常数大于所有极点时间常数之和）

零极点分析法

由零极点图可以得到极坐标图：

此时零点离虚轴比其他极点近的多。当 从 开始向虚轴上方移动的时候，这个零点的角度变化也快得多。

🧨

离虚轴越近的零极点，对系统相频特性的影响越大！

一旦这个零点造成的相角变化大于所以极点造成的相角变化的总和，那么表现在极坐标图中的结果就是：相位变化不连续，出现反转、凹点等

极坐标图的定性规律

🎯

II 型系统附加零点的关键结论：

对于 II 型系统，当 ，极坐标图接近 方向：

• 当 时，极坐标图在实轴下方

• 当 时，极坐标图在实轴上方

当 ，相角接近于

与无零点 II 型系统的对比

特征	无附加零点	有附加零点（ 较大）
起点相角
相角变化	单调减小	先增大后减小
终点相角
曲线形状	光滑，无凹点	可能出现凹点（dent）
低频段（没有渐近线！）	实轴上方	可能位于实轴下方

⚠️

稳定性影响：

附加零点可能使极坐标图在低频段位于实轴上方或下方，这直接影响曲线是否包围 点，从而影响闭环系统的稳定性判别！

五、绘制极坐标图的总结

第一步：确定起点（低频特性）

第二步：确定终点（高频特性）

第三步：求穿越点

• 令 ，求出与实轴的交点

• 令 ，求出与虚轴的交点

第四步：判断曲线形状

• 若传递函数分子没有零点，则曲线光滑，相角单调减小

• 若传递函数分子有零点，根据分子时间常数的大小，极坐标图可能产生凹点 "dents"
• 基本的原则是，时间常数越大的，零极点离虚轴越近，对系统的影响越大

第五步：判断稳定性相关特征

六、特殊情况

6.1 等幅振荡环节（）

6.2 非最小相位系统

1. 起点：相当于有一个系数-K

2. 终点：

七、概略幅相曲线三要素