稳态误差定义
控制系统本质上是动态系统，其性能通常可以由暂态响应和稳态响应来描述：
对于稳定系统，暂态响应将最终衰减至零，即当 时，，因此：
稳态误差是系统稳定后的性能度量，系统不稳定则无所谓稳态误差
- 系统误差定义为：（从输出端定义）；但 通常通过装置进行测量并产生反馈信号 ，因此误差（此时也称偏差）又可表示为：（从输入端定义）
- 如果系统是单位反馈系统，则
稳态误差表达式
对于一般含有扰动的反馈系统，误差的拉普拉斯变换形式为：
利用终值定理，稳态误差可以表示为：
将误差表达式代入，系统的总稳态误差可以分解为两部分：
给定稳态误差
给定稳态误差是由参考输入 引起的稳态误差：
扰动稳态误差
扰动稳态误差是由扰动输入 引起的稳态误差：
总稳态误差
因此，系统的总稳态误差为：
利用终值定理：
- 给定稳态误差反映了系统对参考输入的跟踪能力
- 扰动稳态误差反映了系统对扰动的抑制能力
- 两者共同决定了系统的稳态性能
反馈系统型别（考虑给定稳态误差 ）
系统型别是根据开环传递函数 中 积分环节的阶数定义的
开环传递函数标准形式
对于单位反馈系统，开环传递函数 的标准形式为：
其中：
- 是传递函数的增益
- 表示传递函数型别
- 是常系数
也可写成：
其中 是单位增益前向传递函数。
各型别系统稳态误差与输出的关系
输出微分与误差的关系推导
回顾两个有用的定理
终值定理：
微分定理：当所有初始条件均为零时
推导过程：对于一个 型系统
对于单位反馈系统，开环传递函数为：
求解 ，得到：
应用终值定理计算稳态误差：
应用微分定理：
因此得到输出微分 与误差的关系：
核心结论：该方程将输出的 阶微分同误差联系了起来，这对于 的情况非常有用。
- 当存在常数误差信号 时
- 输出变量的 阶微分为常数：
各型别系统的稳态特性
0 型系统 ()
开环传递函数不含积分环节（ 在分母中的指数为0）。
稳态特性：定常误差信号产生定常的被控变量。
1 型系统 ()
开环传递函数含有1个积分环节。
稳态特性：定常误差信号产生定常的被控变量变化率。
2 型系统 ()
开环传递函数含有2个积分环节。
稳态特性：定常误差信号产生定常的被控变量的二阶导数。
各型别系统稳态误差与输入 的关系
系统稳态误差与输入的关系推导
稳态误差系数
系统误差系数是在给定的参考输入（常数或慢时变）下，单位反馈稳定控制系统稳态精度的一种度量。
误差系数特点：
- 定义的时候与系统型别无关；根据输入信号的特定形式进行定义（阶跃、斜坡、抛物线）
- 仅适用于稳定的单位负反馈系统。用于求稳态误差系数的传递函数是单位负反馈系统的开环传递函数
稳态阶跃误差系数（位置误差系数）
定义
阶跃误差系数定义为：
仅适用于阶跃输入：
计算公式
各型别系统的
系统型别 | 值 |
0 型 | |
1 型 | |
2 型 |
稳态误差
阶跃输入下的稳态误差：
稳态斜坡误差系数（速度误差系数）
定义
斜坡误差系数定义为：
仅适用于斜坡输入：
计算公式
各型别系统的
系统型别 | 值 |
0 型 | 0 |
1 型 | |
2 型 |
稳态误差
斜坡输入下的稳态误差：
稳态抛物线误差系数（加速度误差系数）
定义
抛物线误差系数定义为：
仅适用于抛物线输入：
计算公式
各型别系统的
系统型别 | 值 |
0 型 | 0 |
1 型 | 0 |
2 型 |
稳态误差
抛物线输入下的稳态误差：
稳态误差系数与稳态误差汇总表
系统型别 | 稳态误差系数 | ㅤ | ㅤ | 稳态误差 | ㅤ | ㅤ |
ㅤ | 阶跃 | 斜坡 | 抛物线 | |||
0 | 0 | 0 | ||||
1 | 0 | 0 | ||||
2 | 0 | 0 |
根据稳态误差系数定义和响应曲线可以确定参数 、 和 的值。
需要注意系数 的定义
稳态误差系数的应用
注意：稳态误差系数只能用来求解稳定的单位负反馈系统的误差。
应用步骤
- 判断系统稳定性
- 确定系统型别
- 计算误差系数 、、
- 根据输入类型选择对应公式计算稳态误差
线性系统的叠加原理
对于线性系统，满足叠加原理，因此：
- 输入为 时
- 总稳态误差 = 阶跃输入的稳态误差 + 斜坡输入的稳态误差
对于多项式输入 的情况
非单位反馈系统
非单位反馈系统可以通过数学变换转换为等价的单位反馈系统，再通过分析等价系统的型别和稳态误差系数来分析原系统的误差。
等效变换
最终的目标 是使得闭环的传递函数相等
原非单位反馈系统：
等效单位反馈系统：
其中等效开环传递函数：
特殊情况：H 为常数
当 为常数时，有利于利用单位反馈系统方法进行系统设计。
等效表示：
这相当于一个单位反馈系统 串联一个增益 。
