概述
根轨迹方法是一种图示法，当增益由 变化到 时，采用根轨迹方法很容易确定闭环特征方程根的位置。绘制根轨迹有一系列规则，按规则绘制可事半功倍。
规则依据
特征方程：
幅值条件：
相角条件（）：
开环传递函数一般形式：
其中：
- 为开环极点个数
- 为开环零点个数
- 为原点处极点的重数
法则1：根轨迹的起点和终点
法则2：根轨迹的分支、对称性和连续性
法则3：根轨迹的渐近线（）
法则4：实轴上的根轨迹
法则5：根轨迹的分离（会合）点和分离（会合）角
定义
分离点：
实轴上两个极点之间有根轨迹分支，必然有一分离点，使得两条实轴上的根轨迹在该点分离，进入 平面到达零点或无穷远处。
会合点：
对于实轴上两个有限零点或一个有限零点和一个无限零点，根轨迹分支从 平面会合至该点后进入实轴。
求解分离点的方法
方法1：利用特征方程
根轨迹重合意味着这个点是重根；重根意味着这个点的导数仍然为零！
实轴上的分离点 满足条件：
特殊情况：
- 若无有限零点，则：
- 若无有限极点，则：
推导过程
核心思想：在分离点和会合点处，特征方程存在多重极点（multiple-order Poles），因此特征方程及其导数均为零。
特征方程：
第一步：对特征方程求导
对 关于 求导：
第二步：利用对数求导法则
对数求导法则：
应用到连乘形式：
第三步：简化对数求导
利用对数性质 ：
对两边求导：
第四步：代入特征方程的导数
第五步：利用特征方程消去
由特征方程 可得：
代入上式：
提取公因子 ：
第六步：得出最终结论
由于 且 （未知点不在零点处），因此：
这就是求解分离点（会合点） 的公式！
方法2：利用 K 的极值点
分离点的根轨迹增益 ：在实轴上 两侧的任意点的 都小于分离点处的 （局部最大值）
会合点的根轨迹增益 ：在两个零点之间根轨迹增益 （在实轴上）是最小值（局部最小值）
令
在分离点 处：
注意事项：
- 分离点必须在根轨迹上
- 求解出的所有候选点需要验证是否在根轨迹上
- 不在根轨迹上的解应舍弃
分离角和会合角
如果有 条根轨迹在该点分离或会合：
分离角（离开分离点的切线方向与进入分离点的切线方向之间的夹角）：
其中 表示有 条根轨迹在该分离点分离。
会合角（进入会合点的两条相邻根轨迹分支的夹角）：
分离角和会合角的定义是不一样的，本质上相同
法则6：复数极点（或零点）的出射角（入射角）
问题：根轨迹离开复数极点处的出射角或者到达零点处的入射角？
计算零极点对角度贡献的规定
在使用相角条件计算 处的入射角时，我们需要画出的向量是从其他零极点指向目标点（即原点）的向量。
如图所示， 对 相角的贡献是 不是 ，对 的贡献是 不是
复数极点的出射角
根轨迹离开开环极点 的出射角：
其中
推导过程（根据相角条件）
核心思想：取一个无限接近复数极点 的测试点，在这个小邻域内应用相角条件求解出射角。
相角条件（也称为终止角）：
第一步：选择测试点
选择一个测试点 ，使其无限接近复数极点 ，即
第二步：展开相角条件
根据开环传递函数的一般形式：
取相角：
复数零点的入射角
根轨迹到达开环零点 的入射角（推导逻辑和出射角一样的，略去）：
法则7：根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴相交意味着闭环系统有一对虚根，此时系统处于临界稳定状态。
对于手工计算的话，劳斯判据还是更方便一些
方法1：直接代入法
令 代入特征方程 ：
分离实部和虚部：
求解得到：
- 对应于根轨迹穿越虚轴的点
- 表示穿越虚轴的点的根轨迹增益
方法2：Routh判据法
根轨迹与虚轴的交点可以运用 Routh 判据来计算。具体看下面的例题：
法则8：根轨迹的交叉点
法则9：系统根之和守恒
对于开环传递函数 的系统，闭环极点之和等于开环极点之和。
其中：
- 表示所有的开环极点（包括 个开环极点为零）
- 表示闭环特征方程的根
- ：开环极点个数
- ：开环零点个数
闭环极点之和与根轨迹增益
K 无关。这意味着，无论 K 取何值，闭环极点在复平面上如何移动，它们的“重心”（算术平均值）始终保持不变。例题 5-11
绘制根轨迹的步骤总结
- 标注零极点：在复平面上标出所有开环零点和极点
- 确定分支数：分支数 = max(n, w)
- 实轴上的根轨迹：判断实轴上哪些区段属于根轨迹
- 渐近线：计算渐近线的夹角 γ 和与实轴的交点 σ₀
- 分离点/会合点：求解并验证分离点，计算分离角
- 出射角/入射角：计算复数极点的出射角和复数零点的入射角
- 与虚轴交点：用 Routh 判据或直接代入法求交点和临界增益
- 绘制根轨迹：综合以上信息绘制完整根轨迹图
- 求根轨迹增益：对于任一点 ，可由幅值条件求出对应的 K 值：
