概述

法则3：根轨迹的渐近线（）

📌

渐近线：当 取很大的值（）时，各条根轨迹分支的近似线

显然，确定渐近线只需要知道：

1. 渐近线和实轴的夹角

2. 渐近线和实轴的交点

渐近线与实轴的夹角

当 时，有 条根轨迹的渐近线，夹角满足：

其中

每一条分支， 取值不同，可以得到不同的夹角。

渐近线与实轴的交点

💡

交点位于实轴上，坐标为所有开环极点实部之和减去所有开环零点实部之和，再除以极点数与零点数之差

例题5-6：绘制渐近线

已知：开环传递函数

求：绘制根轨迹的渐近线

解：

1. 确定零极点
• 开环极点：，（二重极点），，
• 开环零点：，

2. 计算渐近线夹角
取 ，得到三条渐近线：
• ：
• ：
• ：

3. 计算渐近线与实轴的交点

4. 绘制渐近线

法则5：根轨迹的分离（会合）点和分离（会合）角

定义

分离点：

实轴上两个极点之间有根轨迹分支，必然有一分离点，使得两条实轴上的根轨迹在该点分离，进入 平面到达零点或无穷远处。

会合点：

对于实轴上两个有限零点或一个有限零点和一个无限零点，根轨迹分支从 平面会合至该点后进入实轴。

求解分离点的方法

方法1：利用特征方程

👉🏻

根轨迹重合意味着这个点是重根；重根意味着这个点的导数仍然为零！

实轴上的分离点 满足条件：

特殊情况：

• 若无有限零点，则：

• 若无有限极点，则：

推导过程

核心思想：在分离点和会合点处，特征方程存在多重极点（multiple-order Poles），因此特征方程及其导数均为零。

特征方程：

第一步：对特征方程求导

对 关于 求导：

第二步：利用对数求导法则

对数求导法则：

应用到连乘形式：

第三步：简化对数求导

利用对数性质 ：

对两边求导：

第四步：代入特征方程的导数

第五步：利用特征方程消去

由特征方程 可得：

代入上式：

提取公因子 ：

第六步：得出最终结论

由于 且 （未知点不在零点处），因此：

这就是求解分离点（会合点） 的公式！

方法2：利用 K 的极值点

📊

分离点的根轨迹增益 ：在实轴上 两侧的任意点的 都小于分离点处的 （局部最大值）

会合点的根轨迹增益 ：在两个零点之间根轨迹增益 （在实轴上）是最小值（局部最小值）

令

在分离点 处：

注意事项：

1. 分离点必须在根轨迹上

2. 求解出的所有候选点需要验证是否在根轨迹上

3. 不在根轨迹上的解应舍弃

分离角和会合角

如果有 条根轨迹在该点分离或会合：

分离角（离开分离点的切线方向与进入分离点的切线方向之间的夹角）：

其中 表示有 条根轨迹在该分离点分离。

会合角（进入会合点的两条相邻根轨迹分支的夹角）：

👉🏻

分离角和会合角的定义是不一样的，本质上相同

法则6：复数极点（或零点）的出射角（入射角）

👉🏻

问题：根轨迹离开复数极点处的出射角或者到达零点处的入射角？

计算零极点对角度贡献的规定

在使用相角条件计算 处的入射角时，我们需要画出的向量是从其他零极点指向目标点（即原点）的向量。

如图所示， 对 相角的贡献是 不是 ，对 的贡献是 不是

复数极点的出射角

根轨迹离开开环极点 的出射角：

其中

推导过程（根据相角条件）

核心思想：取一个无限接近复数极点 的测试点，在这个小邻域内应用相角条件求解出射角。

相角条件（也称为终止角）：

第一步：选择测试点

选择一个测试点 ，使其无限接近复数极点 ，即

第二步：展开相角条件

根据开环传递函数的一般形式：

取相角：

复数零点的入射角

根轨迹到达开环零点 的入射角（推导逻辑和出射角一样的，略去）：

法则8：根轨迹的交叉点

设

（1）非交叉点

当 s 满足相角条件时，该点在根轨迹上。如果在该点处 ，则仅有一条根轨迹分支经过该点。

（2）交叉点

如果在根轨迹上的给定点处 的前 阶导数等于零， 阶导数不为零，则有 条根轨迹分支在该点相聚又分离，因此，在该点处根轨迹汇合。

进入该点的两条相邻的根轨迹夹角：

离开该点的根轨迹分支与邻近的进入该点的根轨迹分支的夹角：

例题 5-11

绘制根轨迹的步骤总结

1. 标注零极点：在复平面上标出所有开环零点和极点

2. 确定分支数：分支数 = max(n, w)

3. 实轴上的根轨迹：判断实轴上哪些区段属于根轨迹

4. 渐近线：计算渐近线的夹角 γ 和与实轴的交点 σ₀

5. 分离点/会合点：求解并验证分离点，计算分离角

6. 出射角/入射角：计算复数极点的出射角和复数零点的入射角

7. 与虚轴交点：用 Routh 判据或直接代入法求交点和临界增益

8. 绘制根轨迹：综合以上信息绘制完整根轨迹图

9. 求根轨迹增益：对于任一点 ，可由幅值条件求出对应的 K 值：