概述
对于实际物理世界中更常见的高阶系统，分析其动态特性常用以下三种方法：
- 列写 n 阶微分方程，然后直接求取微分方程的解
- 利用二阶系统近似高阶系统
- 将 n 阶系统转换为状态方程然后求解状态方程（后续课程讨论）
前置知识：具有零点的二阶系统
例子：质量-弹簧-阻尼系统
考虑质量-弹簧-阻尼系统的运动方程：
初始条件：假设 ，，
对方程进行拉普拉斯变换：
得到传递函数：
其中：
- 自然频率：
- 阻尼比：
- 特征方程：
- 系统极点为：
- 零点：（位于负实轴）
结论：
对于传递函数：
部分分式展开后：
- 极点决定了系统时域响应的形式（指数项和正弦项）
- 零点决定了各项的系数（）
具有零点的二阶系统单位阶跃响应
零点对系统响应的影响推导
假设一个标准的二阶系统（无零点），其传递函数为：
其阶跃响应为 。
现在，我们在 处加入一个零点。为保持系统的稳态增益（直流增益）不变（即 时 ），新的传递函数可以写为：
我们可以把这个新系统的阶跃响应 分解为两部分：
因此，将 变换回时域，我们得到：
核心公式：
这个公式揭示了零点效应：新系统的响应 = 原系统的响应 + 一个缩放后的原系统响应的导数。
现在我们来分情况讨论：
情况1：左半平面（LHP）零点（Minimum-Phase Zero）
此时，零点 ，且 。传递函数为：
时域响应为：
物理意义分析：
- 在阶跃响应的上升阶段（即 达到峰值之前），导数 是正的。
- 因此， 在 的基础上，额外加上了一个正值。
结果：
- 响应加快：系统的输出会更快地上升，上升时间 和峰值时间 都会减小。
- 超调量增大：由于导数在原系统峰值前就提供了"额外的推力"，它会让新系统的峰值更高，导致超调量增大。
情况2：右半平面（RHP）零点（Non-Minimum-Phase Zero）
此时，零点 ，且 。传递函数变为：
时域响应为：
物理意义分析：
- 在阶跃响应的上升阶段，导数 是正的。
- 因此， 在 的基础上，额外减去了一个正值。
结果：
- 响应减慢；超调量减小；
- 产生Undershoot：系统响应会先向着与设定值反方向的方向运动，然后再慢慢调整回来。
零点位置的影响： 越小（即零点越靠近虚轴）， 这一项就越大，无论是左半平面还是右半平面的零点的效应都更明显
高阶系统分析
方法一：直接求解高阶微分方程
例1：三阶系统
考虑三阶微分方程：
单位阶跃函数输入下，对方程进行拉普拉斯变换：
部分分式展开：
时域响应：
这是一个过阻尼响应，系统响应由多个指数衰减项组成。
方法二：主导极点近似
高阶系统响应的特点
高阶系统的暂态响应可以通过部分分式展开写为：
重要结论：系统的零、极点共同决定了系统暂态响应曲线的形状。
影响每个暂态分量的因素包括：
- 衰减速度：由极点离虚轴的距离决定（）
- 系数大小：由零极点的相对位置决定
对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，此时高阶系统就可用低阶系统来近似估计。
零极点对系数的影响
主导极点的概念
若高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实数部分为其他极点的五分之一（1/5）或更小，并且附近又没有其他零极点，则可认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）决定。
这种对系统暂态响应起主要作用的极点称为系统的主导极点。
应用
- 一般情况下，高阶系统具有振荡性，故主导极点通常是共轭复数极点
- 高阶系统常当作二阶系统来分析
- 相应的性能指标都可按二阶系统近似估计
⚠️ 注意：当不满足上述条件时，不能随意忽视零极点对系统动态性能的影响。
例2：主导极点分析
考虑传递函数：
极点分布：
- （实极点）
- （共轭复极点）
单位阶跃响应的拉普拉斯变换：
时域响应：
由于 项衰减很快，可以近似为：
共轭复极点 是系统的主导极点，系统响应主要由这对极点决定。
在利用主导极点求解的时候，要注意保持传递函数增益不变
也就是本例中如果忽略掉 s=-10 的极点，则传递函数应谢伟
