一、从综合设计到补偿器设计
当动态系统通过调整增益 仍无法满足性能要求时，需要设计补偿器改变根轨迹形状。
补偿方式
串联补偿：补偿器串联在前向通道
反馈补偿：补偿器位于反馈通道
局部反馈补偿：在前向通道中加入局部反馈
补偿的目的：使系统稳定，具有满意的动态响应，以及有足够大的增益保证稳态误差不超过给定值。
二、附加极点对系统性能的影响
1. 基本分析模型
考虑具有复数主导极点和一个附加实数极点的系统：
其中
单位阶跃响应：
附加极点的留数：
2. 附加极点位置对响应的影响
[插入图片：不同 p3 位置的极点分布和时域响应]
情形一：p3 远离主导极点左侧
- 很小，附加极点影响可忽略
- 若极点在主导极点左侧5倍以远，对系统响应的影响可以忽略
情形二：p3 向右移动但仍在主导极点左侧
- 增大，超调减少
- 当 接近主导极点时，第一个峰值小于稳态值
- 最大超调可能出现在第二个或后面的峰值
情形三：p3 位于主导极点实轴投影处
- 响应是单调的，没有超调（临界阻尼状态）
- 复数极点导致时域响应出现波纹（ripple）
情形四：p3 位于主导极点右侧
- 的作用超过其它2个极点
- 系统响应特点为过阻尼
结论
- 附加极点对应的瞬态项 ，其中
- 超调 减少，稳态时间 有可能增大或减小
- 幅值 取决于 相对于复数极点的位置
- 越靠左侧，幅值 越小，对系统响应的影响越小
三、附加零点与极点对系统性能的影响
1. 系统模型
除了增加实数极点之外，再增加一个实数零点：
其中
单位阶跃响应：
附加极点的留数：
其中
2. 零极点相对位置的影响
[插入图片：零极点不同相对位置]
A3 的符号取决于零极点相对位置
- 若零点 z 在 p3 的左侧： 为负
- 响应与仅有复数极点的系统相似
- 超调减小，峰值时间加大
- 若零点 z 在 p3 的右侧： 为正
- 超调比仅有复数极点的系统大
- 峰值时间减小
- 的幅值正比于 p3 到 z 的距离
- 若零点 z 接近于极点 p3： 很小
- 该项瞬态响应相对较小
结论
- 零点 在极点 左侧： 为负，超调减小，峰值时间加大
- 零点 在极点 右侧： 为正，超调比仅有复数极点的系统大，峰值时间减小
四、控制器设计
1. 基本结构
设计控制器的第一步是确定其结构。简单而常用的有三种基本元素：
- 增益（Gain）
- 零点（Zero）
- 极点（Pole）
通常是将三者根据需要巧妙结合。
2. 常见控制器类型
(1) 积分控制（I）
- 单位反馈系统回路增益中的积分器意味着对阶跃响应的零稳态误差
(2) 微分控制（D）
- 增加原点处的零点
(3) PID 控制器
时域形式：
频域形式：
PID 控制器结合了比例、积分、微分三种模式，在控制领域中非常重要。
(4) 超前/滞后补偿器
一般形式：
- 超前补偿器（Lead）：零点幅值 < 极点幅值，即
- 降低上升时间，加大阻尼
- 滞后补偿器（Lag）：零点幅值 > 极点幅值，即
- 降低稳定性，减小误差
3. 常见控制器对系统性能的影响
控制器 | 瞬态响应 | 稳态（对阶跃响应的误差） |
比例 (P) | 加快 | 通常非零 |
微分 (D) | 增大阻尼和稳定性 | 通常非零 |
积分 (I) | 降低稳定性 | 零稳态误差 |
PI | P、I结合 | 结合P、I |
PD | P、D结合 | 结合P、D |
PID | P、I、D结合 | 结合P、I、D |
Lead | 降低上升时间，加大阻尼 | 通常非零 |
Lag | 降低稳定性 | 减小误差 |
五、控制器设计示例（例5-29）
系统：，单位负反馈，
误差传递函数：
分析常见控制器结构 对系统的影响。
1. 比例控制 (P)
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
2. 微分控制 (D)
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
3. 积分控制 (I)
注意：闭环系统不稳定！
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
4. 比例积分控制 (PI)
参数 ：
注意：稳态误差为零
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
参数 ：
注意：闭环系统临界稳定（ 时）
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
5. 比例微分控制 (PD)
参数 ：
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
6. PID 控制
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
7. 超前补偿
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
8. 滞后补偿
注意：闭环系统仅当 较小时稳定
[插入图片：不同值时的根轨迹和阶跃响应]
9. 微分作用超前近似
稳态误差：
[插入图片： 时的根轨迹和阶跃响应]
六、补偿器设计实例（例5-28 和 5-30）
例5-28：利用附加极点调整响应
问题：
设计控制器，使闭环系统单位阶跃响应满足：
解题思路：
- 第一次设计：
- 根据性能指标计算得到期望主导极点：
- 但根轨迹上无法得到期望的主导极点
- 第二次设计：
- 利用附加极点降低超调的原理
- 选择较小的阻尼比 ，第三个极点的作用使得超调在要求范围内
- 在根轨迹上选择 的根
- 对应
- 单位阶跃响应：, ,
- 能够满足设计要求
例5-30：超前补偿器设计
问题：
用根轨迹方法设计串联校正，使闭环系统的主导极点满足 和 。
解题思路：
- 期望的闭环主导极点：
- 相角条件：
- 期望的主导极点不在根轨迹上
- 设计补偿器
- 由相角条件：
- 得到：
- 补偿器不唯一，取 ：
- 稳定的零极点对消在控制实践中常用
- 由幅值条件：
- 求得：
- 或用代数法：
设计要点
- 利用相角条件和幅值条件确定补偿器参数
- 稳定的零极点对消是常用技巧
- 补偿器设计方案不唯一，需要根据实际情况选择
七、总结
补偿器设计的核心思想
- 附加极点：超调减小，但稳态时间可能增大
- 附加零点：根据位置可增大或减小超调
- 控制器类型：
- P：加快响应，有稳态误差
- I：消除稳态误差，但降低稳定性
- D：增大阻尼，有稳态误差
- PID：结合三者优点
- Lead：改善瞬态响应
- Lag：改善稳态响应
- 设计方法：利用根轨迹的相角条件和幅值条件
- 设计思路：比例增益→零极点补偿→复合控制
补偿器设计的优势：
- 图形化、直观
- 可利用根轨迹分析补偿后的系统性能
- 设计方式灵活多样
- 便于参数调整和优化