稳定性和相对稳定性可以通过对数幅频曲线和相频曲线来确定。相对稳定性可以用稳定裕度进行度量，包括相位裕度和幅值裕度。
一、基本概念
1. 截止频率 （Gain Crossover）
幅相曲线在幅值为 1（即 ）的点处的频率称为截止频率 ，也称剪切频率
2. 相位裕度 （Phase Margin）
相位裕度等于 180° 加上截止频率处的负相位，用 表示：
其中 是负值。
对于闭环稳定系统，如果系统的开环相频特性再滞后相位裕度 度，则系统将处于临界稳定状态。滞后该角度将使得极坐标图穿越 点。
对于最小相位系统而言，相位裕度为正，则系统是稳定的。
相位裕度和系统阻尼比 有关。一般而言，当相位裕度小于 60° 的时候，有如下工程近似公式：
相位裕度在 45°-60° 之间（等价于）的系统响应能够让人满意。
3. 穿越频率 （Phase Crossover）
幅相曲线在相角为 处的频率称为穿越频率 ，也被称为幅值裕度频率。
若在这个频率上，系统的增益大于1，则系统稳定。
4. 幅值裕度 （Gain Margin）
对于闭环稳定系统，如果系统的开环幅频特性再增大幅值裕度 倍，则系统将处于临界稳定状态。可以用频率点 处的传递函数来表示：
因此：
在对数幅频曲线上：
二、稳定裕度与稳定性的关系
稳定系统
- 相位裕度：
- 幅值裕度：，即
- 分贝表示：
不稳定系统
- 相位裕度：
- 幅值裕度：，即
- 分贝表示：
对于最小相位系统，相位裕度为正则系统稳定，负的相位裕度表示系统不稳定。
对于非最小相位系统，不能简单地用系统的相位裕度和幅值裕度的大小来判断系统的稳定性。
工程设计指标
- 相位裕度与系统阻尼比 有关
- 一般地，相位裕度在 45° 到 60° 之间的系统响应能令人满意
- 相位裕度比幅值裕度能更好地估计阻尼比和超调量
三、稳定裕度的求解方法
方法一：解析法（手算一般用此法）
求相位裕度：
- 由 求出截止频率
- 计算
求幅值裕度：
- 由 求出穿越频率
- 计算
- 或用分贝表示：
例6-21：注意手算的技巧！
已知最小相位系统的开环传递函数为
手算的技巧包括：
- 利用计算增益的时候。利用复数模的积等于积的模的性质
- 计算相角的时候，拆成每个零极点的角度贡献，分别使用反正切计算
- 当所求的角度大于 90° 的时候，特别注意反正切的局限性！
方法二：极坐标图法（直接从图中读出裕度）
步骤：
- 在 平面上作出系统的开环频率特性极坐标图
- 作单位圆
- 单位圆与开环频率特性的交点 与坐标原点的连线，与负实轴的夹角即为相位裕度
- 开环频率特性与负实轴交点处的幅值 的倒数即为幅值裕度
方法三：Bode图法
三种方法比较
方法 | 优点 | 缺点 |
解析法 | 精确，方便考试手算 | 计算复杂，高阶系统困难 |
极坐标图法 | 简便直观 | 近似方法，有误差 |
Bode图法 | 简便直观，可直接获得 和 | 近似方法，有误差 |
Bode图法在工程实践中得到更广泛的应用，可采用计算机辅助绘制。
四、稳定裕度的工程意义
对数幅频曲线与系统设计
- 曲线的低频部分决定系统的型别和稳态精度
- 系统的型别和增益决定误差系数，进而决定稳态误差
- 截止频率 给出系统响应速度的定性指标
截止频率处斜率要求
对于最小相位系统稳定，截止频率处的相角必须大于 。而最小相位系统的相角和幅频特性的斜率是对应的。因此，这要求：
- 若相邻转折频率相距较远，截止频率处的斜率必须大于
- 一般斜率为 是比较合适的
相位估计
- 对数幅频渐近特性曲线与传递函数的每一典型环节有关
- 任意频率点处的相角与对数幅频渐近特性曲线的斜率有关
- 例如：斜率 对应相角
- 斜率变化距离所求频率点越远，对该频率点处的相位影响越小
五、非最小相位系统的注意事项
例6-22 说明：对于非最小相位系统
即使 且 ，系统仍可能是稳定的（通过 Nyquist 判据判定）。
结论：以相位裕度 和幅值裕度 作为判别非最小相位系统稳定性的依据是不可靠的。
六、总结
最小相位系统稳定的充要条件
设计指导原则
- 通过调整 曲线在截止频率处的斜率使系统具有 45° 到 60° 的相位裕度
- 低频段形状决定型别和稳态精度
- 截止频率 反映响应速度
- 对数幅频曲线和相频曲线可用于系统设计（类似根轨迹法）
