一、频率特性的引出
考虑系统传递函数：
当输入为正弦信号 时，进行拉普拉斯变换：
输出的拉普拉斯变换为：
进行部分分式展开：
进行反拉普拉斯变换：
对于稳定系统，当 时，所有瞬态项都趋于零，仅稳态响应保留：
其中，通过留数定理可得：
注意： 是 的函数！这是频率特性的核心概念。
是复数，可以表示为：
其中：
- 幅值：
- 相角：
同样地，：
将 和 代入稳态响应表达式：
记 稳态响应幅值 ，则：
核心结论：
对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，而幅值与相位的变化是频率 的函数。
- 输入：
- 输出：
其中 通常被称为频率特性。
二、频率特性的定义与性质
谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比 为幅频特性，相位之差 为相频特性，并称其指数表达形式
为频率特性。
- ：频率响应的幅值比
- ：频率响应的相位差
当系统 的输入为一频率 的正弦信号时，稳态输出为同频率的正弦信号，与输入信号相比，其幅值增大为 倍，相位差 。
获得频率特性的方法
获得 的两种方法：分析法和实验法。
分析法：
对于已知传递函数
直接将 代入即可得到频率响应：
幅值和相角分别为：
因为计算乘除法是不方便的，所以一般会用对数坐标（化乘除为加减）
三、频域图示方法
常用的频域图示方法可以分为三类：
3.1 Bode图（对数频率特性曲线）
在直角坐标系中，频率与输出输入比的幅值之间的关系图，以及相应的相角与频率之间的关系图。
在对数坐标系中被称为 Bode 图或对数频率特性曲线（由对数幅频曲线和对数相频曲线组成）。
示例：一阶惯性环节
- 幅频特性：
当 时，
- 相频特性：
当 时，； 时，； 时，
3.2 Nyquist图（幅相频率特性曲线）
在极坐标系中以频率为参数绘制输出输入比被称为 Nyquist 图（或幅相频率特性曲线）——通常在开环系统响应中应用。
例 6-1：传递函数
频率响应：
可以证明其 Nyquist 图满足：
其 Nyquist 图是以 为圆心，以 为半径的圆。
- 时：
- 时：
例 6-2：传递函数
频率响应：
边界条件：
- 时：
- 时：
3.3 Nichols图*（对数幅相曲线）
以频率为参数，纵坐标为对数幅值，横坐标为相角（对数幅值 vs 相角），被称为 Nichols图 或者 对数幅相曲线。
Nichols图的优点：
将对数幅值与相位画在一张图中，直接可读出系统的稳定性及其稳定的裕度（稳定裕度的概念将在后续章节介绍）。
四、频率特性与其他系统描述的关系
一旦系统的频率响应确定，则通过傅立叶反变换可以求出系统的时域响应。
系统描述方法的关系：
微分方程 ⇄ 传递函数 ⇄ 频率特性
这三种描述方法可以相互转换，共同构成了线性系统分析的完整框架。
