概述
广义根轨迹是对常规根轨迹绘制方法的扩展，用于分析更复杂的系统情况。主要包括三类：
- 正反馈系统根轨迹（或负参数的负反馈系统的根轨迹，）
- 参数根轨迹（以根轨迹增益K以外的参数为变量）
- 纯滞后系统根轨迹
核心思想：通过等效变换，将广义根轨迹问题转化为常规根轨迹绘制问题，但需要注意相角条件和幅值条件的变化。
1. 正反馈系统根轨迹（零度根轨迹）
基本概念
对于开环传递函数
- 负反馈系统（）：相角条件 ，称为 根轨迹
- 正反馈系统：特征方程
正反馈系统的条件
幅值条件
相角条件
称为 根轨迹或负参数根轨迹（）
绘制法则差异
关键：正反馈系统与负反馈系统的根轨迹差异在于相角条件不同，因此所有与相角条件有关的绘制法则都需要对应修改。
最好的方式是理解这些规则的推导过程而非记公式！
规则3：渐近线夹角
（对比负反馈：）
规则4：实轴上的根轨迹
若实轴上的搜索点 右侧实数零极点数是偶数，则该点在根轨迹上
（对比负反馈：右侧零极点数为奇数时在根轨迹上）
规则6：出射角与入射角
出射角（从复数极点 出发）：
入射角（进入复数零点 ）：
（对比负反馈：起始角为180°而非0°）
零度根轨迹的常见来源
- 分子或分母 最高次幂的系数为负的因子
- 控制系统中包含正反馈回路
示例：对于
- 负反馈系统：实轴根轨迹在 和 ，系统在 时不稳定
- 正反馈系统：实轴根轨迹在 和 ，任意 时系统都不稳定
例 5-13
2. 参数根轨迹
定义
- 常规根轨迹：闭环特征方程的根是根轨迹增益 的函数
- 参数根轨迹：闭环特征方程的根是其他参数（如时间常数 、阻尼比 等）的函数
目的：了解闭环系统特征根随非增益参数变化的情况
绘制方法
核心步骤：引入等效开环传递函数，将变化参数置于根轨迹增益位置
等效变换过程
闭环特征方程：
等效变换为：
其中：
- 是除 外任意的其他变化参数
- 和 是与 无关的首一多项式
得到：
等效开环传递函数：
重要：这种"等效"仅在闭环极点相同这一点上成立，闭环零点一般是不同的，不是闭环传递函数的完全等效。
绘制流程
- 写出开环传递函数
- 写出特征方程
- 推导等效开环传递函数 ，使关注的参数成为根轨迹增益
- 用等效开环传递函数绘制根轨迹
例5-14
例5-14：对于 ，绘制参数 () 变化的根轨迹
3. 纯滞后系统根轨迹
纯滞后环节的影响
对于含纯滞后环节 的系统（滞后时间为 ）：
特征方程：
令 ，得到：
幅值条件：
相角条件：
- 当 （无纯滞后）：仅有 个根满足相角条件
- （根的数目等于根轨迹的支数，一般而言也就是极点数目）
- 当 （有纯滞后）：有无穷多个根满足相角条件
为什么有无穷多个根？
因为可以无穷增大，每一个周期都会有一个对应的 使得相角条件成立
- 根轨迹依然关于实轴对称
绘制特点
重要结论：系统中若有纯滞后存在，相比于无纯滞后存在，系统的稳定性会显著降低。纯滞后时间 越大，对系统稳定性和性能的影响就越大。
Padé 近似方法
为便于分析，可用有理函数近似纯滞后：
一阶 Padé 近似：
近似后可用常规根轨迹法则绘制，但需注意：
- 这是负参数根轨迹（）
- 近似在低频时较为适用
- 越大，近似误差越大
多参数处理（根轨迹簇）
当系统含有多个可变参数时，需要逐个处理：
示例：对于 ，绘制参数 和 变化的根轨迹
方法：
- 先绘制 时， 变化的根轨迹（常规根轨迹）
- 在该根轨迹上取若干个 值（如 , , ...）
- 对每个确定的 值，绘制 变化的参数根轨迹
等效开环传递函数：
要点：
- 以 为参数的根轨迹起始点都在 时 为参数的根轨迹上
- 最终得到的是一个根轨迹簇（对应每个 值都不同）
- 只有取 为某些确定值后，才能绘制参数 变化的根轨迹
例5-18：零极点对消
