一、基本概念
什么是根轨迹？
根轨迹定义
当系统某一参数（如开环增益）变化时，闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。
该方法由Evans在1948年提出，并广泛应用于控制工程中。
为什么需要根轨迹？
对设计者来说，最重要的两件事情：
- 稳定性 — 由特征方程 的根来决定
👉🏻 求解方程或者对特征方程应用劳斯判据 （算是解决了）✅
- 动态性能 — 例如超调量、调节时间（2%，5%）
两个核心问题：
- 如何通过闭环系统特征根的分布来全面了解闭环系统的动态特性？
- 如何通过对闭环系统的动态特性要求来决定闭环特征根的合理分布，进而确定控制器的结构和参数？
根轨迹法 vs 劳斯判据
方法 | 特点 | 作用 |
劳斯判据 | 只能确定S平面上闭环极点位于给定垂线左侧时的控制器参数范围 | 判别稳定性和稳定裕度 |
根轨迹法 | 可以得知每个控制参数取值时所对应的闭环极点位置 | 判别稳定性，分析、设计系统的动态响应特性 |
开环与闭环传递函数
系统框图
开环传递函数：
闭环传递函数：
重要关系
闭环传递函数 的极点（瞬态响应的模态）与开环传递函数 的零点 和极点 以及增益有关。
例5-1：二阶系统分析
系统描述
系统参数：
- ：转矩
- ：转动惯量
- ：粘性摩擦力
建模方程：
对建模方程进行拉普拉斯变换：
得到输出与转矩的关系：
引入放大器增益 （），得到从误差到输出的传递函数：
令 ，，最终得到：
开环传递函数（设 ， 是变量）：
闭环传递函数：
特征方程的根：
根随K变化的分析
K值 | 特征根 | 特点 |
， | 等于开环极点 | |
重根 | ||
实数根 | 位于和的负实轴上 | |
复数根 |
根轨迹图
根轨迹特点
- 起始点：开环极点（K=0）
- 终点：开环零点或无穷远零点（K=∞）
- 轨迹上的每一点代表闭环系统的根
- 包含2条分支（2个闭环特征根）
根轨迹定性分析
当 增大时（）：
- 阻尼比 降低 → 超调增大 增大
- 无阻尼自然频率 增大 — 即为原点到复根的距离
- 阻尼振荡频率 增大 — 等效于瞬态响应频率提高
- 当 时， 是常数，调节时间不受影响
- ，系统稳定
首先从以上两个案例根据经验得到：
- 开环函数的极点是根轨迹的起点
- 开环函数的零点是根轨迹的终点
零极点的影响
增加零点的影响
结论：
根轨迹曲线"被拉向左边"，远离虚轴。
系统更稳定、过渡过程更快。
增加极点的影响
结论：
根轨迹"被拉向右侧"，接近虚轴。
系统容易出现不稳定。
一般性结论
- 给系统增加零点 → 根轨迹向左弯曲 → 系统更加稳定，过渡过程加快（调节时间 减少）
- 给系统增加极点 → 根轨迹向右弯曲 → 容易使系统不稳定，过渡过程变缓
结合根轨迹的相角条件进一步解释：
动作 | 相角贡献 | 根轨迹位移方向 | 主要物理后果 | 典型工程手段 |
增加零点 | 引入正相位 | 向左弯曲 | 响应变快、更稳定 | PD控制、超前校正 |
增加极点 | 引入负相位 | 向右弯曲 | 响应变慢、易不稳定 | PI控制、滞后校正 |
二、幅值条件与相角条件
1. 根轨迹方程的幅值和相角形式
对于一个开环传递函数 ，根轨迹上的任意一点 必须满足特征方程 ，即 。
如果我们将 表示为极坐标形式 ，那么 就等价于两个条件：
- 幅值条件：
- 相角条件：其中 为任意整数。
根轨迹一般就是描述增益 k （视作自变量）变化的时候极点移动的轨迹。所以，相角条件唯一且充要地确定了根轨迹的形状
2. 幅值和相角的几何计算
幅值 r
幅值 r 可以通过计算点 s 到所有开环零点和开环极点的距离来确定：
用公式表示为：
其中， 是开环零点， 是开环极点。
相角
相角 是点 s 与所有开环零点连线的相角之和，减去与所有开环极点连线的相角之和：
用公式表示为：
3. 重要性质：
相角条件只和零极点的位置有关，和增益 是无关的！
幅值条件不仅与零极点的位置有关，还与增益 有关
也就是说，相角条件是点在根轨迹上的充分必要条件
一类求解增益 K 的典型问题是：
Step 1: 绘制开环零极点
Step 2: 任意选择一个搜索点
Step 3: 测量相角和距离
- 表示分母对应的相角
- 表示分子对应的相角
- 表示分母因式线段的距离
- 表示分子因式线段的距离
Step 4: 判断相角条件是否满足
若满足，该点在根轨迹上，可通过幅值条件计算 ：
三、参数根轨迹
不仅参数 可以调整，其他参数（如时间常数 ）也可以作为变化参数。
总体思路：
- 求出闭环传递函数
- 转化为只有增益变化的等效开环传递函数
例5-4
若，时间常数 可调：
特征方程：
等效开环传递函数：
- 开环极点：
- 开环零点：
三、性能分析与设计基本步骤
根轨迹法设计步骤
- 由性能指标确定主导极点 — 通常希望过渡过程有一点衰减振荡（欠阻尼），需要一对共轭复根
- 时域指标（阻尼比 、调节时间 、自然频率 、阻尼振荡频率 ）可用于确定主导极点，并在S平面上直观表示
- 反映性能指标的信息在S平面上与根轨迹的交点便是欲求的主导极点，通过幅值条件确定系统增益
- 一旦主导极点确定并求出系统增益，该增益条件下的其他极点也可以求到
如果绘制出的根轨迹不满足期望的瞬态响应？
需要通过补偿环节来改变根轨迹的形状（添加新的零极点），从而获得期望的响应