1. 根轨迹方程的幅值和相角形式

对于一个开环传递函数 ，根轨迹上的任意一点 必须满足特征方程 ，即 。

如果我们将 表示为极坐标形式 ，那么 就等价于两个条件：

• 幅值条件：

• 相角条件：其中 为任意整数。

2. 幅值和相角的几何计算

幅值 r

幅值 r 可以通过计算点 s 到所有开环零点和开环极点的距离来确定：

用公式表示为：

其中， 是开环零点， 是开环极点。

相角

相角 是点 s 与所有开环零点连线的相角之和，减去与所有开环极点连线的相角之和：

用公式表示为：

3. 重要性质：

👉🏻

相角条件只和零极点的位置有关，和增益 是无关的！

幅值条件不仅与零极点的位置有关，还与增益 有关

也就是说，相角条件是点在根轨迹上的充分必要条件

一类求解增益 K 的典型问题是：

Step 1: 绘制开环零极点

Step 2: 任意选择一个搜索点

Step 3: 测量相角和距离

• 表示分母对应的相角

• 表示分子对应的相角

• 表示分母因式线段的距离

• 表示分子因式线段的距离

Step 4: 判断相角条件是否满足

若满足，该点在根轨迹上，可通过幅值条件计算 ：

 

示例

• 零点：

• 极点：,

• 计算各向量的长度和相角：
• 从零点 到 的向量：长度 。相角 。
• 从极点 到 的向量：长度 。相角 。
• 从极点 到 的向量：长度 。相角 。

• 计算总幅值 r：

• 计算总相角 θ：