前面的部分内容在手写笔记里、故这里贴一下课件
初等解析函数
指数函数
定义：为指数函数（复平面内）
在复平面上处处解析（也称作整函数），且，和实指数函数的性质是一样的
指数函数性质
记住几个常见的指数函数值！！！
指数函数的导数
值得注意的是,这是对z求导的结果.在参数方程里，对t求导可得:
帮助熟悉指数函数的基本运算
对数函数
定义：满足的反函数称为对数函数，记为：
值得说明的是,即使在复数域上对数函数在0处也是没有定义的
对数函数Lnz是多值函数，有无穷多个分支。k=0时对应的取值称作对数函数的主支
对数函数基本性质
对数函数的解析性
对数函数的其它值和主值只相差了一个常数，因此只需要研究主支的解析性就可以。
显然主支的实部处处连续，虚部由于幅角主值的定义的原因在负实轴附近处处不连续。
对数函数的导数
推导：
同样的，因为其它值和主值只差了一个常数，因此只需要研究主支的导数就可以
幂函数
定义：称函数为幂函数
幂函数是用指数函数和对数函数定义的！
和对数函数一样，幂函数也是多值函数
- 当为整数时，函数是单值函数
- 为有理数时，只要k足够大一定可以进入周期，因此函数是有限值的
- 当是无理数，函数是无限值函数，多值函数实际上有无限个可能的取值
例：求
幂函数求导公式
和对数函数一样，整个非正实轴都是奇点（z=0没有定义，也可以算作奇点）
和实函数的运算一样的
三角函数与双曲函数
定义：还是根据指数函数来定义（不是用平面三角定义的）
将三角函数拓展到复数域
三角函数与双曲函数的导数
- 周期：本质上是指数函数的周期是
- 导数公式和实数域内形式相同
在复数域上不是有界函数！！！！
实际上增长得还很快（指数函数）
不矛盾：在实轴上是有界的，但是在虚轴上是无界的
例：解方程
补充题
最后漏了一步，这一步配凑是不简单的
用复数的方法求解而非用普通的二维平面的方法
解复数方程的时候，求根公式并不总是好用的！复数方程的因式分解还要多练习
用C-R条件证明
如果模为定值，那么其实可以直接根据最大模定理得到 为定值
