一、理论回顾
1. 稳定性分析
判据：全部闭环极点位于左半开平面
2. 暂态性能分析（快）
对于二阶系统标准形式：
特征根：
单位阶跃响应（）：
关键参数
- 阻尼比 ：决定超调量
- 自然频率 ：决定响应速度
- 衰减系数 ：决定调节时间 （2%误差带）
- 阻尼振荡频率 ：决定振荡周期
S平面上的性能指标
- 等σ线（垂直线）：衰减速率相同，越接近虚轴，暂态过程越长
- 等ωd线（水平线）：振荡频率相同
- 等ωn线（以原点为圆心的圆）：
- 等ζ线（过原点的射线）：与负实轴夹角
3. 稳态性能分析（准）
单位负反馈系统的型取决于原点处的开环极点个数：
- 0型系统：无位于原点的开环极点
- 1型系统：1个位于原点的开环极点
- 2型系统：2个位于原点的开环极点
稳态误差系数与根轨迹增益有关。
二、高阶系统的主导极点
1. 主导极点的定义
主导极点：对系统瞬态响应影响最大的极点，对应过渡过程时间最长、幅度最大的响应分量。
特征（1个或2个）：
- 最接近虚轴（实部绝对值最小）
- 附近无其它零极点
- 距虚轴较近（其实部绝对值小于其它极点实部绝对值的1/5）
主导根轨迹分支：根轨迹中最接近虚轴的1条或2条分支，对系统时间响应影响最大。
2. 为什么可以忽略非主导极点？
以例5-23为例，闭环传递函数：
单位阶跃响应：
分析：由 产生的响应衰减速度是主导极点 的约10倍（），因此该项很快衰减到可忽略不计。
三、基于根轨迹的性能分析步骤
通用流程
- 性能指标 → 时域参数
- 峰值 、峰值时间 、调节时间 、增益
- 阻尼比 、自然频率 、阻尼振荡频率 、衰减系数 、增益
⬇️
- 选择主导极点
- 在S平面上绘制性能指标对应的区域（等ζ线、等σ线等）
- 与根轨迹的交点即为主导极点
- 应用幅值条件计算根轨迹增益
- 根据根轨迹增益确定其他非主导极点
- 方法1：多项式除法，除以有一直特征根构成的特征多项式，商为未知特征根构成的多项式
- 方法2：法则9（根之和），适用于 的系统
四、典型例题分析
例5-24：标准高阶系统分析
例5-25：负反馈增益系统（非最小相位）
问题：
要求： 时，绘制根轨迹，判别稳定性，给出 的单位阶跃响应。
解题步骤
1. 开环传递函数标准化
由于 ，设 ，则：
关键特征：
- 含有右半平面零点 （非最小相位系统）
- 开环极点：
- 开环零点：
2. 绘制根轨迹（）
基本参数：
- （极点数），（零点数）
- 实轴根轨迹： 和
- 渐近线数：
- 渐近线角度：
- 渐近线交点：
分离点：
在实轴上求解 （实际计算较复杂，可通过数值方法得到）
3. 稳定性分析
特征方程：
展开复数极点：
Routh阵列：
稳定性条件要求第一列全为正：
- （但已假设 ）
- 需要更仔细的分析...
通过Routh判据或数值计算可得：
临界稳定： 时，与虚轴相交于
4. 确定主导极点（）
绘制 射线（），与根轨迹交点：
5. 计算增益
应用幅值条件：
计算各项距离：
对应：
实际上题目给出 ，
6. 确定其他极点
利用法则9（根之和）：
通过特征方程或数值计算：
7. 闭环传递函数
简化为：
8. 单位阶跃响应
通过部分分式展开和拉氏反变换：
性能指标：
- 超调量：
- 峰值时间： s
- 调节时间： s
- 稳态值：（非单位反馈系统）
9. 非最小相位系统特性分析
非最小相位系统的典型表现
- 反向响应（Undershoot）：
- 响应初期为负值
- 系统先向错误方向运动，再转向目标
- 由右半平面零点 引起
- 稳态值 ≠ 1：
- 由于 （非单位反馈）
- 右半平面零点的影响：
- 限制可达到的带宽和响应速度
- 相位滞后更严重
- 补偿设计更困难
10. 验证稳定性
所有闭环极点：
全部位于左半平面 ✅，系统稳定。
非主导极点衰减速度：
约为主导极点的3.66倍，因此非主导极点影响不能完全忽略，但主导极点仍起主要作用。
例5-26：圆形根轨迹
问题：
要求：
- 绘制根轨迹
- 任意K时系统是否稳定？确定稳定K范围和临界振荡参数
- 若调节时间 s，确定K值和特征根
解题要点
1. 根轨迹形状
- 开环极点：（不稳定开环极点）
- 开环零点：
- 实轴根轨迹：
- 分离点：
- 根轨迹是以 为圆心、半径 1.414 的圆
2. 稳定性分析
特征方程：
- ：临界稳定，
- ：系统稳定
3. 调节时间要求（ s）
利用几何关系（圆的半径和三角形）：
主导极点：
应用幅值条件：
要点总结
- 当开环传递函数形式特殊时，根轨迹可能是圆形
- 利用几何关系（圆的半径、三角形）可快速确定极点位置
- 不稳定开环系统可通过反馈变稳定（）
例5-27：综合设计问题
问题：串联PI控制器的系统
[插入图片：系统框图]
要求：确定使系统工作在欠阻尼状态下的K值范围，且斜坡输入下稳态误差 。
解题步骤
1. 绘制根轨迹
- 开环极点：（二重极点）
- 实轴根轨迹：
- 渐近线：，交点
- 分离点：
- 与虚轴交点：，
2. 欠阻尼条件
实轴分离点：（在 处）
3. 稳态误差要求（1型系统，斜坡输入）
4. 综合要求
要点总结
- 欠阻尼条件由分离点和临界稳定点确定
- 稳态误差由系统型和误差系数决定
- 综合设计需要同时满足动态性能和稳态性能要求
- K值范围的确定是典型的优化问题
五、综合设计方法
设计流程
- 绘制根轨迹
- 由期望的瞬态响应确定闭环极点
- 时域指标（）→ S平面参数（）
- 在S平面上绘制性能指标对应区域
- 与根轨迹交点 = 主导极点
- 应用幅值条件确定增益
- 确定其他极点
- 多项式除法
- 法则9（根之和，适用于 ）
- 验证性能
- 检验稳态性能
- 如不满足要求，添加补偿环节改变根轨迹形状
关键原则
- 主导极点通常选择为有一定衰减振荡的共轭复根（欠阻尼）
- 阻尼比 、调节时间 等指标可在S平面上直观表示
- 非主导极点的衰减速度应至少是主导极点的5倍以上
六、常见问题与注意事项
1. 何时可以忽略非主导极点？
✅ 可以忽略：
- 极点实部绝对值 > 主导极点的5倍
- 极点附近有零点（零极点相消）
❌ 不能忽略：
- 极点距主导极点较近
- 极点附近无零点抵消
2. 非单位反馈系统的稳态值
当系统为非单位反馈时，，需用闭环传递函数的终值定理计算：
3. 非最小相位系统的识别
特征：开环传递函数含右半平面零点或极点
影响：
- 单位阶跃响应出现反向响应（初始反向）
- 相位滞后更大，稳定裕度更小
- 补偿设计更困难