6.1 导数的几何意义导数的几何意义保角映射的概念和几个一般性定理定理6.1.1定理6.1.4（黎曼映射定理）（存在性，不要求掌握）定理6.1.5（边界对应原理）6.2 若干初等函数所确定的映射整线性映射倒数映射幂函数映射指数函数和对数函数映射指数函数对数函数（仅作了解？）6.3 分式线性映射分式线性映射三点对应原理定理6.3.1 重点讨论两类问题两个重要的分式线性映射将上半平面映射为单位圆内部的分式线性映射将单位圆内部映射为单位圆内部的分式线性映射
6.1 导数的几何意义
导数的几何意义
把复函数看作一个映射
- 的几何意义：映射在处的伸缩率
也就是说将z0处很小的线段伸缩了倍
- 的几何意义：在处的旋转角
- 复函数映射其实就是旋转+伸缩
- 导数的几何意义：旋转的角度+伸缩的倍数
同理，对另外一个过N点的曲线分析：
保角性：经过映射后，曲线间的夹角的大小和方向不变
保角映射的概念和几个一般性定理
定理6.1.1
设是区域D到G的双射（即是单射又是满射），且在D内每一点有保角性质，则称是D到G的保角映射。若在D内任一点某领域是保角的，则称在D内是局部保角映射。
- 只要某一点处导数存在且不为零，则该点领域内一定是保角的
定理6.1.4（黎曼映射定理）（存在性，不要求掌握）
定理6.1.5（边界对应原理）
关键点：
- ，也就是边界映射的边界
理解：内部已经是双射，加上边界仍然是双射，那么边界之间一定是双射
- 保向
原来的正向映射之后还是正向
应用：
映射一个区域等价于映射边界+确定象区域是在边界的内侧还是外侧
第二步可以通过在象原区域内部找一个点映射，也可以通过上面的保向性（不推荐）
例1 区域在的映射下的象区域是什么？
6.2 若干初等函数所确定的映射
整线性映射
- ：旋转映射
- ：相似映射
- ：平移映射
显然上面这些都是保角映射
保圆性：
整线性映射把Z平面上圆周曲线映为W平面上的圆周曲线
倒数映射
映射除了原点之外处处保角
- 幅角相同：
- 模之积为1：
根据这些几何关系，可以在右图中根据单位圆画出
倒数映射的保圆性
倒数映射的保对称性
把Z平面上关于广义圆周C的两个对称点映为W平面上关于圆周C‘的两个对称点
幂函数映射
，所以幂函数映射具有局部保角性（除了原点之外处处保角）
根式函数是幂函数的逆映射
几何性质
指数函数和对数函数映射
指数函数
实部对应象的幅值，虚部对应象的幅角
，在整个复平面上保角
记住这种分析几何关系的方式：确定一个的量，考察投影过去会变成什么
对数函数（仅作了解？）
k=0称作对数函数的主支，此时映射是一对一的映射
例2 在映射下，带域映射成什么函数？
复杂的映射往往要分解倒几个简单的映射
6.3 分式线性映射
分式线性映射
- c=0,,整线性映射
- c=b=1,a=d=0，倒数映射
分式线性映射的逆映射显然也是分式线性映射
- 在整个复平面上具有保角性
- w是扩充复平面上的双向的保角映射
w具有保圆性和保对称性
因为把w分解之后的每一种变换都具有这两种性质
注意，关于圆的对称点指的是镜像对称，也就是和原点共线，并且到原点的距离乘积之和为1
三点对应原理
只需要三个点就可以唯一确定一个分式线性映射
有四个参数，其实仅有三个独立常数。设a，c不为零
给出三对点的对应，就可以唯一确定上面三个参数
定理6.3.1
设在Z平面上，在W平面上，则存在唯一的线性分式映射，将依次映射为
若含有点，则去掉含有该点的两项（认为这两项在无穷远处的极限是1）
例如，若,则有：
例3 试求将Z平面上三点分别映射为W平面上三点的分式线性映射
例4 求保角映射w，将上半平面映射为单位圆且
例5 中心分别在z=1,-1,半径为的两圆弧C1，C2围成的区域D，试求映射下的象区域
值得注意的是，这里利用保角性和两个切线的角度关系可以减少一次计算
4个重要性质：
保角性，保圆性，保向性，保对称性
保角映射本质上就是带点进去算 理论上有无穷多个点，利用性质可以让我们少算一些
重点讨论两类问题
- 给定区域和保角映射，求其象区域。
- 求一保角映射，把一已知区域映射为一已知象区域
方法
- 坐标变换分析
- 已知初等线性映射和分式线性映射的复合
- 基本性质和原理的应用
- 保角性
- 保圆性
- 保对称性
- 边界对应原理
- 保向性
两个重要的分式线性映射
将上半平面映射为单位圆内部的分式线性映射
- 是给定的上半平面的点，这个点被映射到原点
- 表示旋转，因此是任意的；
- 这也说明这种映射是不唯一的
证明：
例5 求把角域映为单位圆内部的保角映射
例6 把上半平面映射成单位圆内部，且使与的分式线性映射
将单位圆内部映射为单位圆内部的分式线性映射
例9 将上半平面映射为圆域的分式线性映射，且满足
有一个很小的点：复数是不能比较大小的； 说明它是正实数
例 求将上半平面映成单位圆内部的分式线性映射，使得其中
值得注意的是：
- 下面第二个重要映射省略了一个，不太严谨，虽然最后解方程的时候两个旋转可以合并为一个
- 区分：这里是上半平面映射到单位圆，但是点没有映射到原点，因此不能使用第一个重要线性映射的结论
- 过渡变换的思想
- 本来需要求一个逆变换，其实就等价于解出一个方程
习题15.1 的象区域？
例7 试求一保角映射，将区域映射成
注意，给半个单位圆，直接平方后并不是圆（还要考虑直径上的边界！！）
思考：刚开始给1/4圆？半径不是1？
先把半径化成1
然后平方变成上半单位圆（如果半径不是1的话，求幂次方的时候幅值会改变
习题19
提示：下去领会一下，拉直，旋转变换；复合分解；取点确定边界
