3.1 二维离散随机变量离散型随机变量的联合概率分布律分布律的性质二维离散型随机变量的边际分布律二维随机变量的条件分布律3.2 二元随机变量分布函数分布函数的性质边际分布函数条件分布函数3.3 二元连续型分布函数联合概率密度概率密度性质边际（边缘）概率密度条件概率密度二元均匀分布3.4 随机变量的独立性定义连续型随机变量相互独立的特征独立的性质二元正态分布3.5 二元随机变量函数的分布Z=X+Y型分布离散型Z=X+Y连续型Z=X+Y万能法拓展到n次
3.1 二维离散随机变量
定义：
设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e),Y=Y(e)为定义在样本空间S上的两个实值单值函数，则称有序二元整体为二维随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律
注意：“，”是“且”的意思
分布律的性质
- 非负性：
- 归一性：
例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(X, Y)的联合概率分布。
二维离散型随机变量的边际分布律
对于离散型随机变量（X，Y），边际分布律为：
实际上这讨论的是一个断章取义的问题：我们只关心二元随机变量中的其中一个
- 其实就是二元退化到了一元
- X的边际分布（行累加）；Y的边际分布（列累加）
例2
二维随机变量的条件分布律
把概率分布表列出来什么都可以算了 更困难的题目有无穷项，不能列出概率分布表，只能从级数的角度计算
例3
3.2 二元随机变量分布函数
分布函数的性质
- 把一个量固定，关于另外一个量单调不减
- 归一性
- 右连续
同时关于x，y右连续
- “区域概率”
仅作了解，基本用不上;不过从几何层面也很容易理解
边际分布函数
把X取遍了，最后的分布函数就只和Y有关
条件分布函数
3.3 二元连续型分布函数
联合概率密度
概率密度性质
- 第三点完全解决了二元连续型随机函数的概率计算问题
- 算概率，就是算二重积分
- 第二条，归一性用来反算某些位置参数
- 第四条，联系起了分布函数和联合概率密度
边际（边缘）概率密度
理解：从积分，会把待积变量给积掉，只剩下另一个变量
注意：
上下限的选取：要选择x/y 的实际积分区域作为上下界
积分上下界不唯一的情况：分段
条件概率密度
- 和离散的情况完全一样，用：条件=联合/边缘
二元均匀分布
i.e.
注意：
- 积分的范围
- 思路：联合密度函数—边缘密度函数—条件密度函数—概率
- 关键的突破口是联合；有了联合什么都有了
3.4 随机变量的独立性
定义
如果XY相互独立，则同样可以推出：
用分布函数计算总是不方便的，下面把它拓展到密度函数：
因为上面的式子对任意的x、y都成立，所以每一项一定要对应相等，因此有：
- 若（X，Y）是离散型随机变量，则X,Y相互独立等价于下式恒成立
离散型判断独立不独立很简单，理解概念之后去逐一检验
面面俱到，缺一不可
- 若（X，Y）是连续型随机变量，那么除去平面上面积为零的点之外，下式处处成立
例：连续型
- 连续型中独立是非常少的；
连续型随机变量相互独立的特征
去算边际密度函数还是很麻烦的，下面给出一种从联合密度函数出发的充要判别法
- 有效区域是广义的长方形
- 能够写成分别关于两个变量的一元函数的乘积
- 这个结论是充要的
证明：
以上结论很大程度上解决了连续型二元随机变量独立性判别问题
至此，二元离散型和连续型的独立性判别问题都得到了很好的解决。
例：既不离散也不连续（难点）
既不能用离散的判断方法，也不能用上面连续的结论，只能从定义的分布函数出发
- 分别求出分布函数
- 以离散型为标准进行讨论，求出联合的分布函数
- 对照比较，看是否符合
例：连续型
独立的性质
二元正态分布
重点掌握：
- 二元正太分布的边缘密度函数
二元正太分布的边缘密度函数就是对应的一元正太分布，并且不依赖相关系数
- 二元正太分布的相互独立条件
对于二元正太分布(X,Y)，X与Y相互独立的充要条件是相关系数
这一点第四章会重点讲，现在权且了解一下
3.5 二元随机变量函数的分布
Z=X+Y型分布
离散型Z=X+Y
- 离散型随机变量的卷积公式
如果X，Y相互独立，则上式可以进一步简化为：
例 证明泊松分布的再生性
注意条件：XY相互独立
连续型Z=X+Y
- 连续随机变量的卷积公式
- 当X、Y相互独立时，Z=X+Y的密度函数称为卷积公式
- 代数法：确定什么时候积分不为零，进一步确定积分上下限
- 几何法：把图X-Z图像画出来，对z分段讨论积分
万能法
拓展到n次
- 条件：n个随机变量都要相互独立
