5.1 孤立奇点的分类和性质独立奇点的分类定理5.1.1 可去奇点的性质定理5.1.2 m级奇点的充要条件定理5.1.3 定理5.1.4 本性奇点的性质极点级数的判别法5.2 留数定理留数的定义以及留数定理留数的定义定理5.2.1 留数定理留数的计算定理5.2.2 可去奇点的留数定理5.2.3 极点处的留数计算定理5.2.45.3 留数定理的应用型积分定理5.3.1型积分定理5.3.2定理5.3.3习题
5.1 孤立奇点的分类和性质
独立奇点的分类
主部：负幂次方
奇点分类的标准：在处罗朗展开后主部（负幂次项）的项数
定理5.1.1 可去奇点的性质
设z0是的孤立奇点，则下列结论等价：
- z0是可去奇点；
- 存在()
估计积分一定要取模！因为复数不取模是谈不上大小的，取模之后才是实数。
定理5.1.2 m级奇点的充要条件
上面的证明是充要的，反过来就是把台劳展开
把罗朗级数转化为台劳级数（正项）是证明的常见思路。
注意和m级零点区分
此外值得注意的是，这个充要条件和后文极点级数的判别法是完全一致的
推论
定理5.1.3
定理5.1.4 本性奇点的性质
极点级数的判别法
法一：直接罗朗展开，观察主部有多少项
法二：判断分子分母零点的级数
看这个就比较好理解了（）
进一步，判断零点级数的方法
- 利用展开，看次数最低项的次数
- 求导，代入检验是否为零
法三：利用定理5.1.1，5.1.3，5.1.4的性质
关键就是求f(z)的极限
5.2 留数定理
留数的定义以及留数定理
留数的定义
- 留数只于有关；根据形变原理，和半径的选取是没有关系的
- 由罗朗定理：
所以恰好就是罗朗展开式中项的系数
此外，这个形式上和柯西积分公式很像（但是因为在z0处有奇点，所以柯西积分公式不能直接用）
定理5.2.1 留数定理
设函数在区域（ ）内除了有限个奇点之外解析，C是把奇点都包围的逆时针闭合回路，则：
如果一个区域内有有限个奇点，则闭路上的积分与这些奇点的性质（他们的留数）有关。
算积分的新思路：罗朗展开——留数——积分
某种意义上来说有点循环论证，相当于引入了一个新的量（留数）然后去把形变原理重新表述了一遍；留数定理真正的价值在于，形变原理中把奇点包围起来的环路积分恰好就是罗朗展开的负一次幂的系数
用留数定理反过来证明柯西积分公式（倒反天罡、）
没错就是循环论证，但是也有助于加深对几个定理的理解
柯西积分定理是留数的特殊情况下的应用
留数的计算
定理5.2.2 可去奇点的留数
函数在可去奇点处的留数为零
本性奇点一般用罗朗展开求
定理5.2.3 极点处的留数计算
设是的m级极点，则：
推论1 :
设，在z0处解析，并且，则：
值得说明的是，在这种情况下不需要再去极限，因为在z0处解析
推论2：
设，P、Q在解析，，为的单极点，则：
例
推论3：
设是给的k级零点，的k+1级零点，则是的单极点，且：
定理5.2.4
设在解析，是的二级极点，则：
例14 求在孤立奇点处的留数
例15 求函数在奇点处的留数
例18 求函数奇点处的留数
关键思路还是展开，展开的时候可能会用到级数的乘法和出发
关键还是去找
例19 计算积分
思考：若认为，亦即：
放弃思考，怎么算都很麻烦？
例21 计算积分
注意：要检查奇点是否在积分环路包围的范围之内
此外，本题还可以用柯西积分公式（能用柯西积分公式的也一定可以用留数做）
例 若是偶函数的孤立奇点，证明：
即证：偶函数的留数为零
注意：若曲线积分C有非孤立奇点或奇点太多，留数定理不适用，可以先在外环上罗朗展开，再逐项积分
5.3 留数定理的应用
把几类实积分转化为复积分，用留数来算
型积分
定理5.3.1
设是的有理函数，且在上连续，则：
例25 计算积分的值
不用背！本质就是做一个换元
型积分
定理5.3.2
设在复平面C上除了有限个奇点外均解析，奇点不在实轴上。如果使当时，有
定理的理解：
- 条件1：奇点不在实轴
- 条件2：z趋向于无穷的时候，衰减得比快
例27 计算积分
首先，四个奇点要会算（第一章的基础知识还不熟练！）
需要注意是否满足题目要求的不等式
定理5.3.3
设在复平面C上除有限个奇点外均解析，奇点不在实轴上。如果，使得当时，有成立，则：
注意：
要求形如或者的积分，可以考虑转化成，然后分别去求实部和虚部
例28 计算积分
注意：
这里不能用定理5.2.2
这是因为约束条件是针对复数域的
而在复数域内，，增长比多项式快得多
习题
- 找出函数的孤立奇点，并求出各点的留数
- 计算积分
- 计算积分
懒得改了、错误是非常明显的；那个时候公式都没记清楚
- 找出函数的孤立奇点，并求出各点的留数
- 计算积分
- 计算积分
- 计算积分
- 计算积分
？？？感觉算错了
- 计算积分
- 计算积分
