4.1 复数项级数与幂级数复数列和复数项级数复数列复数项级数复函数序列与复函数项级数幂级数的敛散性定理 阿贝尔定理收敛半径收敛圆收敛半径的计算幂级数和函数的解析性幂级数和函数的逐项可积性、逐项可导性以及解析性4.2 Taylor级数Taylor定理定理的证明（运用柯西积分公式）一些初等函数的泰勒展开式4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理定理4.3.1 解析函数零点孤立性定理定理的证明：用Taylor定理证明定理4.3.2 解析函数的唯一性定理定理4.3.3 定义：零点的级数定理4.3.34.4 罗朗级数双边级数的收敛性双边级数（罗朗级数）双边级数收敛的条件4.4.2罗朗定理定理的证明罗朗定理解题要素习题
4.1 复数项级数与幂级数
复数列和复数项级数
复数列
复数列收敛的定义
定理：复数收敛的充要条件是其实部虚部分别对应收敛
复数项级数
通项
若部分和数列收敛，则称级数收敛（反之为不收敛）
绝对收敛&条件收敛
收敛级数的性质
定理：若收敛，则
定理：收敛的充分必要条件：都收敛
收敛级数的判定
其实和实数域的方法一样，这里就不多加赘述了（），复习微积分！
复函数序列与复函数项级数
复函数序列
和函数与收敛域
值得注意的是，没有注明收敛域的和函数是没有意义的！！！
和函数等价于部分和序列的极限
幂级数的敛散性
定理 阿贝尔定理
a为任意常数，左边的幂级数一定可以转化为右边的形式（其实做一个换元就可以）。方便起见，后面的讨论都针对右边的形式展开。
若a=0时幂级数在处收敛，则在以为半径的圆内绝对收敛（a不为零时结论其实一样）
值得注意的是，处的敛散性根据阿贝尔定理是无法判别的
收敛半径
收敛圆
收敛半径的计算
也是和实数范畴内完全一样
例3
例4 常用结论
注意：
从n=0开始加的！
收敛域！
幂级数和函数的解析性
幂级数和函数的逐项可积性、逐项可导性以及解析性
注意：
逐项积分/求导之后收敛半径不变！
逐项积分时要用变上限积分，并且要注意要把积分下限也算进去；为了方便起见，积分下限一般取到零
4.2 Taylor级数
Taylor定理
注意：
定理成立的条件只有解析（在圆内解析就可以展开为幂级数，边界不需要解析）
定理的证明（运用柯西积分公式）
推论（从泰勒公式的角度看解析性）
在区域D内解析 等价于 按D内任意一点展开成幂级数
收敛的范围就是以为中心画的最大的圆
一些初等函数的泰勒展开式
值得注意的是：
例5 间接展开法：运用逐项可积、逐项可导以及基本的展开式去展开
例9 处展开
思考题： 待定系数法，展开的麦克劳林级数
值得注意的是：
奇函数的展开式只有奇次项
利用奇函数性质很容易说明，，而的展开式只差一个负号，所以偶数项一定全部为零
偶函数的展开式只有偶数项
4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理
定义1
，则称为的零点
定义2
若，且，则称为的孤立零点
不孤立等价于：
存在零点序列收敛到
任意小的一个领域，都有不止一个零点
定理4.3.1 解析函数零点孤立性定理
简练版：
不恒为零的解析函数零点一定是孤立的
零点不孤立的解析函数一定恒为零
定理的证明：用Taylor定理证明
若一个解析函数在圆邻域内存在收敛到某点的零点序列，则该函数在整个圆邻域内恒等于零。
定理4.3.2 解析函数的唯一性定理
设在区域D内解析，两两不同，，则
证明是非常容易的，构造，运用解析函数的零点孤立性定理即可
两解析函数在区域D内一部分（如实区间）相等，则他们在复平面上恒等
所以在实数范围内的一些恒等式，如果在复数范围内也解析的话，则恒等式在复平面内也成立
证明：
0和该恒等式的复数形式都是解析函数；而他们在实轴上的函数值处处相等（已经证明恒等式在实数域上成立）；
由解析函数的唯一性定理，该恒等式在复平面上恒为零，即在复数域上恒等式恒成立。
定理4.3.3
定义：零点的级数
如果解析函数在的某个领域内可以表示为：
则称为的m级零点
定理4.3.3
为解析函数的m级零点的充要条件是：
4.4 罗朗级数
问题的提出：泰勒定理要求在以为中心的圆内处处解析；如果圆内有不解析点能否进行泰勒展开？
罗朗定理：可以的，以为圆心构造圆环，挖掉不解析的点，在圆环内泰勒展开
双边级数的收敛性
双边级数（罗朗级数）
双边级数收敛的条件
双边级数收敛的条件包括：
- 正幂部分收敛：即 在某个圆 内收敛。
- 负幂部分收敛：即 在某个圆环 内收敛。
- 两部分的收敛域有交集：即。在这种情况下，双边级数在圆环内收敛。
需要注意的是，双边级数的收敛域是一个圆环，而不是一个圆盘。这是因为负幂部分在 处一定是发散的。
4.4.2罗朗定理
设函数f(z)在以z₀为中心的环形区域R₁ < |z - z₀| < R₂内解析，则f(z)可以在这个环形区域内展开为一个双边幂级数，即罗朗级数：
其中，系数可以通过以下积分公式计算：
这里C是环形区域内绕z₀一周的任意闭合曲线。
注意：
和台劳定理一样，罗朗定理只要求在区域内部解析，对边界上的点不做要求
定理的证明
本质上就是泰勒定理的证明；通过变量替换把结果拓展到负无穷 值得注意的是，“挖掉不解析点”的操作用到了形变原理（其实也挺自然的）
值得注意的是：
- 罗朗定理是泰勒定理的推广；泰勒定理是罗朗定理的特殊情况。
从证明的过程也可以看出来，罗朗定理基本上就是在内边界、外边界分别证明两次泰勒定理
- Cn用积分公式难以求出，一般用麦克劳林公式间接展开
- 不同环域，展开式一般不同
这是因为展开的时候要考虑幂级数的收敛条件，因此对于不同的环域展开式的形式一般式不同的
罗朗定理解题要素
- 展开的环域
- 值得注意的是可能会出现（a，+∞）的广义圆环
- 不解析点
- 值得注意的是，罗朗定理和泰勒定理一样，要求在环域内处处解析；但是在环域的边界有不解析点是可以的，这一点也和泰勒定理一样。
- 展开点
- 最后的结果应该写成的形式
- 收敛域
- 运用间接法展开对式子进行变形时，一定注意所套用公式的收敛域
- 主要就是下面这三个，其它常用麦克劳林展开式的收敛域都是整个复平面
- 常见思路：
- 裂项
- 逐项可积（注意积分限的问题）、逐项可导
习题
就是强行构造就好了
习题4.16 已知是整函数，且对于充分大的，有成立，其中M为常数，，为整数，证明必是一个次数小于等于n的多项式
习题4.12 证明：
非常非常好的一道题，用到了很多证明题中常见的变换和操作
求函数在圆环展开的罗朗级数
- 他们一定是相等的，只是目前证明比较麻烦，有时间再看看
