2.1 随机变量2.2离散型随机变量及其分布几个重要的离散型随机变量0-1分布（单重伯努利试验）二项分布（n重伯努利试验）泊松分布2.3 随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)的性质2.4 连续型随机变量及其分布律均匀分布指数分布正态分布2.5 随机变量函数的分布等价法：函数映射的关系定理：反函数法
2.1 随机变量
将描述事件性质的语言转化为数学的语言
设定一个函数，将样本空间里的样本点一一映射到数轴上
定义： 为定义在样本空间S上的实值单值函数，，则称为随机变量，它的值由样本点来确定。
常见的两类随机变量：
- 离散型
随机变量的所有可能的取值为有限个或者可列个
- 连续型
任何一点处的概率密度都是零；
- 既不离散又不连续型
2.2离散型随机变量及其分布
定义：取值至多为可数的随机变量为离散型随机变量。
离散随机变量的概率分布律为：
- 列表法
- 解析法
这里的P就是随机变量（不是X）
概率分布律的性质：
- 恒正性
- 归一性（常用于无穷可列的类型，相当于一个额外的条件，用于求解题目中的一个未知量）
对于无穷可列的模型，则有：
建立离散性随机变量：
- 写出所有可能取值
- 写出所有可能取值对应的概率
例1 泊松分布的推导。一个随机变量的分布律如下式所示，求c
例2 幂级数求和
几个重要的离散型随机变量
0-1分布（单重伯努利试验）
伯努利试验：
只有两个可能结果的试验
X的分布律为：
二项分布（n重伯努利试验）
n重伯努利试验：
将伯努利试验独立地重复n次
X的分布律为：
例3 熟悉计算器的使用（考试可以用计算器的，敲的速度很重要）
泊松分布
X服从参数为的泊松分布，记为，随机变量X的概率分布律为：
直接代数字就可，所以没有放例题……（真没啥）
二项分布和泊松分布的近似：
注意：
考试中二项分布和泊松分布是分开来考查的；也就是说题目没有明确要求的情况下不要随意作近似！
2.3 随机变量的分布函数
分布函数定义：
随机变量X，对任意实数x，称函数为X的分布函数。
任何随机变量都有相应的分布函数
定义域：整个实数域
F(x)的性质
- 单调递增，
值得说明的是：
总结说来还是注意等号的位置
- 分布函数是右连续的
这个结论是根据原始定义产生的；因为定义中不等号取到了右边
方法：用离散的随机变量X去分割定义域
例 考察分布函数的概念和性质
A，部分区间上单调递减
B，符合所有性质
C，x=2处右连续不成立
D，x=2处右连续不成立；而且最后概率大于1
判断一个函数能否被称为分布函数需要判断上面提到的每一条性质
2.4 连续型随机变量及其分布律
定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，若存在非负的概率密度函数，使对于任意实数x，有：
则称X为连续型随机变量
的性质：
- 对于任意实数x1，x2（x2>x1）
推论：(相当于x1=x2）
如果有一点处概率不为零，则该随机变量一定不是连续型
- 在f（x）的连续点有：
连续型随机变量的分布函数一定是连续的，不然违反了3的推论；但是概率密度函数当然可以是不连续的。
连续随机变量的分布函数也是连续的
和离散不一样，离散是跳跃间断
B18
- 求a，b
- 求X的密度函数f(x)
- 求
BC：不满足归一性
A：不一定满足
均匀分布
满足这样的概率密度的连续随机变量X满足均匀分布，记为
分布函数
例 , 求关于x的二次方程有实根的概率
指数分布
定义：
其中，记作
分布函数
- 记住了之后完全解决指数分布的概率计算，甚至不用积分
X具有如下无记忆性：
也就是说：电子元件不论何时开始计时都是“新的”
与实际还是有差距的，只是一种近似
记住指数分布密度函数和分布函数—发现隐藏的指数分布—利用无记忆性解题
正态分布
定义：设X的概率分布为：
- （均值）决定图形对称轴的位置
- （方差）决定图形形状，越大，图形越矮越胖
标准正太分布
其实即使是标准正太分布也是算不出来的（），只能借助近似的方法计算
利用对称性得到，这在实际中很重要，负值需要转化为正值再去查表
标准化
计算很简单，就是一个标准化+查表
不用考虑满分为100分；因为对于正太分布而言，定义域是整个实轴，大于100的部分概率会很低但不会是0；限制满分为100反而会违背归一律
2.5 随机变量函数的分布
问题：已知随机变量X的概率分布，且已知，求Y的概率分布
对于离散型，这是很容易的，直接对应替换掉
对于连续型随机变量：
等价法：函数映射的关系
定理：反函数法
设，，则Y具有概率密度：
其中的反函数，是Y的取值范围（具体应用看下面的例题）
很好用，但是很局限（一旦函数具有单调性，优先选择）
例1：设随机变量X具有概率密度函数，求的概率密度
例2：，求：的概率密度
例3：
不要先积分，直接求导；
例4：
既不是连续型又不是离散型的例子：
例：一银行服务需要等待，设等待时间X（分钟）的概率密度为
某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为Y，(1) 求Y的分布函数; (2)问Y是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？
