3.0 复变函数积分及其性质复变函数的定义复积分和曲线积分的关系复积分的计算方法1曲线积分的性质3.1 柯西积分定理（复积分的格林公式）莫累拉定理（柯西积分定理的逆定理）3.2原函数定理推论1推论2(复函数积分的牛顿莱布尼兹公式)3.3 柯西积分公式（特殊类型积分的计算方法）定理 解析函数的积分平均值定理定理 最大模定理3.4 解析函数的无穷可微性定理（高阶导数的柯西积分公式）定理 柯西不等式定理 柳维尔定理定理 代数学基本定理习题
3.0 复变函数积分及其性质
复变函数的定义
和第二类曲线积分类似（复习复习复习！！！）
最后积分的结果仍然是一个复数
当曲线C是实轴上的一个区间时，复积分退化为实函数的定积分
用定义很难办、
复积分和曲线积分的关系
说明复函数是可以转化为第二类曲线积分去计算的
复积分的计算方法1
用参数方程！！！基本的计算法和第二类曲线积分完全对应！！！
非常重要的需要记忆的结论！
以后复函数用复连通区域的柯西积分定理的时候，用圆把奇点包围住，可能可以用这个结论。
曲线积分的性质
关于第四条
类比第二类曲线积分，变力做功，第一次放缩让力和位移方向相同；第二次放缩把力取最大值
比较难一点的题目会估计积分的范围
复积分一般与路径有关！
因为路径无关的条件挺苛刻的（柯西积分定理）
3.1 柯西积分定理（复积分的格林公式）
定理：设函数f(z)在封闭曲线C上及其所包围的单连通区域D内解析，则：
注意：
柯西积分定理的要求是在边界和区域内部均解析
推论1：设函数f(z)在封闭曲线C上及其所包围的单连通区域D内解析，则积分与路径无关，只与起点和终点有关
推论2（多联通区域D的柯西积分定理）：设函数f(z)在多联通区域D及其正向边界C上解析，则：
值得注意的是，这里的正向边界C是包括内部的边界的
判断正向的依据：沿着曲线走的时候内部区域在左手边
进一步地，
应用：外面的C0算不出来/内部有奇点
把中间的点挖掉
除了z=a之外，都是解析的形变原理
例6 计算积分，其中a，b为不在曲线C上的复数，且
用到了例2的结论
莫累拉定理（柯西积分定理的逆定理）
设在单连通区域D内连续，且积分与路径无关/任意闭曲线积分为零，则在D内解析
柯西积分定理是解析得到积分的路径无关性；而莫累拉定理是通过路径无关性得到解析
证明思路：
运用原函数定理证明的方法。积分与路径无关，则可以构造出一个在D上解析的。由解析函数的无穷阶可微性，对求导即得到，并且也是解析的。
3.2原函数定理
定理：若f(z)在单连通区域D内积分与路径无关，记：
则、 在单连通区域D内解析，且
推论1
设也是的原函数,则:
推论2(复函数积分的牛顿莱布尼兹公式)
若在单连通区域D内解析,是的一个原函数,则:
其中曲线分别是C的起点和终点
例8 计算，其中C是从-2到2的椭圆的上半部分
例9 同时用到了目前求积分的三种方法：柯西积分定理、原函数定理、以及参数方程表示
出现这种不解析的情况，只能用曲线积分；需要注意若为定值，则可以直接换成常数，被积函数还是连续的
3.3 柯西积分公式（特殊类型积分的计算方法）
设函数在有界闭区域上解析，为正向，则
条件：
在有界闭区域上解析；
积分环路为正向
重要思想：把C无限收缩，这样上的就无限接近
再把进行积分，发现结果是0
注意：
- D为单连通或者多联通区域时，定理都成立
- 当
- 此时在区域外面，区域内没有奇点，柯西积分定理成立
- 要求解析，而肯定是不解析的（)
定理 解析函数的积分平均值定理
设函数在上解析，则
- 证明方法，取特殊的C，柯西积分公式，用参数法
- 理解“平均”：圆心的函数值等于圆周上的平均值；并且这个值和圆半径R的选取是没有关系的，
定理 最大模定理
解析函数的模在区域内部不能达到极大值，除非它是常数函数。
柳维尔定理的一般情况！
柳维尔定理可以看作是将区域扩展到无穷大的复平面。在这种情况下，平面内任意一点都不能成为模的极大值点。（因为如果有极大值点，用一个区域把它包围起来，那么就违背了最大模定理）这意味着整函数必然是无界的。
例9 基本计算，没啥
柯西积分公式的一些变式
例10 求积分
法一利用了因式分解裂项，法二利用的是形变原理，用两个小圆把不解析的区域包围起来
3.4 解析函数的无穷可微性
定理（高阶导数的柯西积分公式）
设在有界闭区域上解析，为正向，则在D内任意阶导数存在，且：
证明：形式上等于在柯西积分公式两边对变量求n阶导数（实际证明很复杂，不做要求）
例11 计算，其中C是绕i一周的闭曲线
例13 计算：
注意：同样的题目可以给不同的路径，但本质上是一样的（可以用形变原理）
会发现用这种方法算和用留数计算是完全等价的（因为留数由柯西积分公式导出）
定理 柯西不等式
设在上解析，则
注意：
- 复数积分的第四条性质，相当于经过了两次放缩
- 最大模定理，模的最大值一定在上取到
定理 柳维尔定理
有界整函数必是常数（最大模定理的极限情况）
证明：
由柯西不等式，令，若函数有界，则时M仍是有界量，则：
注意：
- 实函数不具有这个性质
- 例：在R任意阶可导，但是不是常数（实际上因为在虚轴上是无界的）
定理 代数学基本定理
设是复常数，，则至少存在，使得
- 进一步，原式含有的因子，除掉之后再运用代数学基本定理
- n次方程在复数域上有n重根（可能有重根）
习题
习题3.14 已知是整函数，且存在着实数M，使得成立，试证明必为常数。
习题3.16 设在单连通区域D内除了点z0外解析，但在z0旁有界。证明：对于D内包含z0的任何简单闭曲线C，有
习题3.15 如果在闭圆盘上解析，试证明：
习题3.11 由复积分，证明：
习题3.4 设是整函数，求积分(其中）
习题3.10 设在简单闭曲线C及其内部解析，且在C上有。证明：在C内部，
直接用最大模定理，结束了（）
